设D＝{(x，y)｜x2＋y2≤R2)，则e－(x2＋y2)sin(x－y)dxdy＝( )．

admin2016-01-25 28

问题设D＝{(x，y)｜x²＋y²≤R²)，则

e^{－(x²＋y²)}sin(x－y)dxdy＝( )．

选项 A、0
B、1
C、π
D、∞

答案A

解析因D关于x轴及关于y轴均具有对称性，应注意考察被积函数的奇偶性，尽量使用对称性及奇偶性简化计算．

因D关于y轴对称，而sinxcosy关于x为奇函数，故

e^{－(x²＋y²)}sinxcosydxdy＝0．
同理，因D关于x轴对称，而cosxsiny关于y为奇函数，故

e^{－(x²＋y²)}cosxsinydxdy＝0，仅(A)入选．
注意由上例可得到下述一般结论：
若积分区域D关于y轴(或x轴)对称，且f(x，y)关于x(或关于y)为奇函数，当f(x，y)在D上连续时，必有

f(x，y)dxdy＝0．

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