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  3. [2001年] 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=[aij]n×n中元素aij的代数余子式．二次型 记X=[x1，x2，…，xn]T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A

[2001年] 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=[aij]n×n中元素aij的代数余子式．二次型 记X=[x1，x2，…，xn]T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A

admin2019-06-25  58
问题 [2001年]  设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=[aij]n×n中元素aij的代数余子式．二次型
               
记X=[x1，x2，…，xn]T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A-1．
选项
答案将二次型f(x1，x2，…，xn)改写成矩阵乘积形式，即 [*] 因A为对称矩阵，则Aij=Aji(i，j=1，2，…，n)，故 [*] 因秩(A)=n，故A可逆，且A－1=A*／|A|，则f(X)的矩阵乘积形式为f(X)=XTA－1X． 如能证A-1也为对称矩阵，则f(X)的矩阵为A－1．事实上，因A对称，即AT=A，有 (A－1)T=(AT)－1=A-1．
解析
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考研数学三

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