设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且g′(x)≠0.证明:存在ξ∈(a,b),使得

admin2018-04-15  21

问题 设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且g′(x)≠0.证明:存在ξ∈(a,b),使得
            

选项

答案令F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一f(x)g(x),则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=f(a)g(b),由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得F′(ξ)=0,而F′(x)=f′(x)g(b)+f(a)g′(x)一f′(x)g(x)一f(x)g′(x),所以 [*]

解析 这是含端点和含ξ的项的问题,且端点与含ξ的项不可分离,具体构造辅助函数如下:把结论中的ξ换成x得
整理得
             f′(x)g(b)+f(a)g′(x)=f′(x)g(x)一f(x)g′(x)=0,
还原得
              [f(x)g(b)+f(a)g(x)一f(x)g(x)]′=0,
辅助函数为
              F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一f(x)g(x).
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