假设证券价格s遵循几何布朗运动，即ds=μsdt+σsdz。请运用无套利方法推导Blake-Scholes微分方程，并简要说明Blake-scholes微分方程蕴涵的风险中性定价思想。

admin2013-12-12 152

问题假设证券价格s遵循几何布朗运动，即ds=μsdt+σsdz。请运用无套利方法推导Blake-Scholes微分方程，并简要说明Blake-scholes微分方程蕴涵的风险中性定价思想。

选项

答案已知：dS=μSdt+σSdz 则在一个小的时间间隔△t中，S的变化值△S为： △S=μS△t+σS△z ① 假设f是依赖于S的衍生证券的价格，刚f一定是S和t的函数，根据伊藤引理可得： [*] 在一个小的时间间隔△t内，f的变化值△f为： [*] 由于dz都是代：表标准布朗运动，所以上式的△z相同，都等于[*]。为了消除△z，可以构建一单位衍生证券空头和[*]单位标的证券多头的组合。令Ⅱ代表该投资组合的价值，则： [*] 在△t时间后，该投资组合的价值变化△Ⅱ为： [*] 由于上式中不含有△z，该组合的价值在一个小时间间隔△t后必定没有风险，因此该组台在△t中的瞬时收益率一定等于△t中的无风险收益率，否则，则存在无风险套利机会。因此在无风险套利机会的条件下：△Ⅱ=rⅡ△t 把④、⑥代入上式可得： [*] 化简为：[*] 这就是著名的Blake-Scholes微分方程。 (2)从微分方程中可以看出，衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券的当前市价S，时间t，证券价格的波动率σ，和无风险利率，它们全是客观变量，独立于主观变量-风险收益偏好，这意味着无论主观风险偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。风险中性定价原理主要用于衍生品定价过程中，其假定所有投资者都是风险中性。在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引它们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值，这就是风险中性定价原理。

解析

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