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设线性方程组为 (1)讨论a1，a2，a3，a4取值对解的情况的影响． (2)设a1＝a3＝k，a2＝a4＝－k(k≠0)，并且(－1，1，1)T和(1，1，－1)T都是解，求此方程组的通解．
设线性方程组为 (1)讨论a1，a2，a3，a4取值对解的情况的影响． (2)设a1＝a3＝k，a2＝a4＝－k(k≠0)，并且(－1，1，1)T和(1，1，－1)T都是解，求此方程组的通解．
admin
2019-05-11
124
问题
设线性方程组为
(1)讨论a
1
，a
2
，a
3
，a
4
取值对解的情况的影响．
(2)设a
1
＝a
3
＝k，a
2
＝a
4
＝－k(k≠0)，并且(－1，1，1)
T
和(1，1，－1)
T
都是解，求此方程组的通解．
选项
答案
(1)增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式，其值等于 [*]＝(a
2
－a
1
)(a
3
－a
1
)(a
4
－a
1
)(a
3
－a
2
)(a
4
－a
2
)(a
4
－a
3
)． 于是，当a
1
，a
2
，a
3
，a
4
两两不同时，增广矩阵的行列式不为0，秩为4，而系数矩阵的秩为3．因此，方程组无解． 如果a
1
，a
2
，a
3
，a
4
不是两两不同，则相同参数对应一样的方程．于是只要看有几个不同，就只留下几个方程． ①如果有3个不同，不妨设a
1
，a
2
，a
3
两两不同，a
4
等于其中之一，则可去掉第4个方程，得原方程组的同解方程组 [*] 它的系数矩阵是范德蒙行列式，值等于(a
2
－a
1
)(a
3
－a
1
)(a
3
－a
2
)≠0，因此方程组唯一解． ②如果不同的少于有3个，则只用留下2个或1个方程，此时方程组无穷多解． (2)此时第3，4两个方程分别就是第1，2方程，可抛弃，得 [*] (－1，1，1)
T
和(1，1，－1)
T
都是解，它们的差(－2，0，2)
T
是导出组的一个非零解．本题未知数个数为3，而系数矩阵[*]的秩为2(注意k≠0)．于是(－2，0，2)
T
构成导出组的基础解系，通解为： (－1，1，1)
T
＋c(－2，0，2)
T
，c可取任意常数
解析
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