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设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得 ∫abf(x)dx=(b-a)f’’(ξ).
设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得 ∫abf(x)dx=(b-a)f’’(ξ).
admin
2019-09-04
30
问题
设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得
∫
a
b
f(x)dx=(b-a)
f’’(ξ).
选项
答案
令F(x)=∫
a
x
f(t)dt,则F(x)在[a,b]上三阶连续可导,取x
0
=[*],由泰勒公式得 F(a)=F(x
0
)+F’(x
0
)(a-x
0
)+[*](a-x
0
)
2
+[*](a-x
0
)
3
,ξ
1
∈(a,x
0
), F(b)=F(x
0
)+F’(x
0
)(b-x
0
)+[*](b-x
0
)
2
+[*](b-x
0
)
3
,ξ
2
∈(x
0
,b), 两式相减得F(b)=F(a)=F’(x
0
)(b-a)+[*][F’’’(ξ
1
)+F’’’(ξ
2
)],即 ∫
a
b
f(x)dx=(b-a)[*][f’’(ξ
1
)+f’’(ξ
2
)], 因为f’’(x)在[a,b]上连续,所以存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](a,b),使得 f’’(ξ)=[*][f’’(ξ
1
)+f’’(ξ
2
)],从而 ∫
a
b
f(x)dx=(b-a)[*]f’’(ξ).
解析
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0
考研数学三
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