2. 考研
  3. 设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得 ∫abf(x)dx=(b-a)f’’(ξ)．

设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得 ∫abf(x)dx=(b-a)f’’(ξ)．

admin2019-09-04  34
问题 设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
∫abf(x)dx=(b-a)f’’(ξ)．
选项
答案令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取x0=[*]，由泰勒公式得 F(a)=F(x0)+F’(x0)(a-x0)+[*](a-x0)2+[*](a-x0)3，ξ1∈(a，x0)， F(b)=F(x0)+F’(x0)(b-x0)+[*](b-x0)2+[*](b-x0)3，ξ2∈(x0，b)， 两式相减得F(b)=F(a)=F’(x0)(b-a)+[*][F’’’(ξ1)+F’’’(ξ2)]，即 ∫abf(x)dx=(b-a)[*][f’’(ξ1)+f’’(ξ2)]， 因为f’’(x)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](a，b)，使得 f’’(ξ)=[*][f’’(ξ1)+f’’(ξ2)]，从而 ∫abf(x)dx=(b-a)[*]f’’(ξ)．
解析
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考研数学三

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