设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得 ∫abf(x)dx=(b-a)f’’(ξ).

admin2019-09-04  30

问题 设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得
abf(x)dx=(b-a)f’’(ξ).

选项

答案令F(x)=∫axf(t)dt,则F(x)在[a,b]上三阶连续可导,取x0=[*],由泰勒公式得 F(a)=F(x0)+F’(x0)(a-x0)+[*](a-x0)2+[*](a-x0)3,ξ1∈(a,x0), F(b)=F(x0)+F’(x0)(b-x0)+[*](b-x0)2+[*](b-x0)3,ξ2∈(x0,b), 两式相减得F(b)=F(a)=F’(x0)(b-a)+[*][F’’’(ξ1)+F’’’(ξ2)],即 ∫abf(x)dx=(b-a)[*][f’’(ξ1)+f’’(ξ2)], 因为f’’(x)在[a,b]上连续,所以存在ξ∈[ξ1,ξ2][*](a,b),使得 f’’(ξ)=[*][f’’(ξ1)+f’’(ξ2)],从而 ∫abf(x)dx=(b-a)[*]f’’(ξ).

解析
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