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如果f(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,且则在区间[a,b]上f(x)≡0.
如果f(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,且则在区间[a,b]上f(x)≡0.
admin
2020-05-02
23
问题
如果f(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,且
则在区间[a,b]上f(x)≡0.
选项
答案
方法一 反证法. 设f(x)在区间[a,b]上不恒等于零,则存在一点x
0
∈[a,b],使得f(x
0
)≠0.不妨设f(x
0
)>0,若x
0
∈(a,b),由于f(x)连续,从而[*]对于给定一个正数ε
0
=[*]f(x
0
),存在一个正数δ(U(x
0
,δ)[*](a,b)),使得 [*] 有|f(x)-f(x
0
)|<ε
0
=[*]f(x
0
),即[*]所以 [*] 同理可证x
0
=a或x
0
=b,也有[*]总之,这与假设矛盾,所以在区间[a,b]上f(x)≡0. 方法二 由于f(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,[*]在区间[a,b]上可导,且F′(x)=f(x)≥0,故F(x)在区间[a,b]上单调不减,那么对于任意一个x∈[a,b],有F(a)≤F(x)≤F(b).再由F(a)=F(b)=0可得F(x)在区间[a,b]上恒等于零,故f(x)=F′(x)≡0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nkv4777K
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考研数学一
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