2. 考研
  3. 如果f(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且则在区间[a，b]上f(x)≡0．

如果f(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且则在区间[a，b]上f(x)≡0．

admin2020-05-02  34
问题 如果f(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且则在区间[a，b]上f(x)≡0．
选项
答案方法一 反证法． 设f(x)在区间[a，b]上不恒等于零，则存在一点x0∈[a，b]，使得f(x0)≠0．不妨设f(x0)＞0，若x0∈(a，b)，由于f(x)连续，从而[*]对于给定一个正数ε0=[*]f(x0)，存在一个正数δ(U(x0，δ)[*](a，b))，使得 [*] 有|f(x)－f(x0)|＜ε0=[*]f(x0)，即[*]所以 [*] 同理可证x0=a或x0=b，也有[*]总之，这与假设矛盾，所以在区间[a，b]上f(x)≡0． 方法二 由于f(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，[*]在区间[a，b]上可导，且F′(x)=f(x)≥0，故F(x)在区间[a，b]上单调不减，那么对于任意一个x∈[a，b]，有F(a)≤F(x)≤F(b)．再由F(a)=F(b)=0可得F(x)在区间[a，b]上恒等于零，故f(x)=F′(x)≡0．
解析
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考研数学一

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