已知α1,α2,α3,α4为3维非零列向量,则下列结论: ①如果α4不能由α1,α2,α3线性表出,则α1,α2,α3线性相关; ②如果α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性相关,则α1,α2,α4也线性相关; ③如果r(α

admin2019-05-15  49

问题 已知α1,α2,α3,α4为3维非零列向量,则下列结论:
    ①如果α4不能由α1,α2,α3线性表出,则α1,α2,α3线性相关;
    ②如果α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性相关,则α1,α2,α4也线性相关;
    ③如果r(α1,α12,α23)=r(α4,α14,α24,α34),
则α4可以由α1,α2,α3线性表出.其中正确结论的个数为    (    )

选项 A、0
B、1
C、2
D、3

答案C

解析 如果α1,α2,α3线性无关,由于α1,α2,α3,α4为4个3维向量,故α1,α2,α3,α4线性相关,则α4必能由α1,α2,α3线性表出,可知①是正确的.
令α1=,则α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性相关,但α1,α2,α4线性无关.可知②是错误的.
由[α1,α12,α23]→[α1,α2,α23]→[α1,α2,α3],[α4,α14,α24,α34]→[α4,α1,α2,α3]→[α1,α2,α3,α4]
可知
    r(α1,α12,α23)=r(α1,α2,α3),
    r(α4,α14,α24,α34)=r(α1,α2,α3,α4),
故当r(α1,α12,α23)=r(α4,α14,α24,α34)时,也有
    r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,α4),
因此α4可以由α1,α2,α3线性表出.可知③是正确的.故选(C).
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