设连续函数f(x)满足f(x)=∫02xdt+ex，则f(x)=________．

admin2016-09-30 30

问题设连续函数f(x)满足f(x)=∫₀^2x

dt+e^x，则f(x)=________．

选项

答案2e^2x一e^x．

解析 ∫₀^2xf(

)dt=2∫₀^xf(t)dt，则f(x)=∫₀^2xf(

)dt+e^x可化为
f(x)=2∫₀^xf(t)dt+e^x，两边求导数得f’(x)一2f(x)=e^x，解得
f(x)=[∫e^xe^∫一2dxdx+C]e^∫2dx=(一e^一x+C)e^2x=Ce^2x一e^x，
因为f(0)=1，所以f(0)=C一1=1，C=2，于是f(x)=2e^2x一e^x．

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