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设n维列向量α1,α2,α3满足α1-2α2+3α3=0对任意的n维列向量β,向量组α1+αβ,α2+bβ,α3线性相关,则参数a,b应满足条件( )。
设n维列向量α1,α2,α3满足α1-2α2+3α3=0对任意的n维列向量β,向量组α1+αβ,α2+bβ,α3线性相关,则参数a,b应满足条件( )。
admin
2022-03-23
58
问题
设n维列向量α
1
,α
2
,α
3
满足α
1
-2α
2
+3α
3
=0对任意的n维列向量β,向量组α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
线性相关,则参数a,b应满足条件( )。
选项
A、a=2b
B、a=-2b
C、a=b
D、a=-b
答案
A
解析
方法一
因α
1
,α
2
,α
3
满足α
1
-2α
2
+3α
3
=0 (*)
要求向量组α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
线性相关,其中β是任意n维列向量,利用(*)式,取常数k
1
=1,k
2
=-2,k
3
=3,对向量组a
1
+αβ,α
2
+αβ,α
3
作线性组合,得到
(α
1
+αβ)-2(α
2
+bβ)+3α
3
=α
1
-2α
2
+3
3
+(a-2b)β=(a-2b)β
故当a=2b时,对任意的n维向量β均有α
1
+αβ-2(α
2
+bβ)+3α
3
=0,即当a=2b时,对任意n维列向量β,有α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
线性相关,故应选A.
方法二
α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
线性相关,可以得出r(α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
)≤2,对矩阵(α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
)作初等列变换(不改变秩)有
(α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
)→(α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
1
+αβ-2(α
2
+bβ)+3α
3
=(α
1
+αβ,α
2
+bβ,(a-2b)β)
(α
1
+αβ,α
2
+bβ,0)
故当a=2b时,r(α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
)≤2,对任意的n维列向量β,有α
1
+αβ,α
2
+bβ,α
3
线性相关,应选A。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/o6R4777K
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考研数学三
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