2. 考研
  3. 设n维列向量α1，α2，α3满足α1－2α2+3α3=0对任意的n维列向量β，向量组α1+αβ，α2+bβ，α3线性相关，则参数a,b应满足条件( )。

设n维列向量α1，α2，α3满足α1－2α2+3α3=0对任意的n维列向量β，向量组α1+αβ，α2+bβ，α3线性相关，则参数a,b应满足条件( )。

admin2022-03-23  87
问题 设n维列向量α1，α2，α3满足α1－2α2+3α3=0对任意的n维列向量β，向量组α1+αβ，α2+bβ，α3线性相关，则参数a,b应满足条件(          )。
选项 A、a=2b
B、a=－2b
C、a=b
D、a=－b
答案A
解析 方法一
因α1，α2，α3满足α1－2α2+3α3=0  （*）
要求向量组α1+αβ，α2+bβ,α3线性相关，其中β是任意n维列向量，利用（*）式，取常数k1=1，k2=－2，k3=3，对向量组a1+αβ，α2+αβ，α3作线性组合，得到
(α1+αβ)－2(α2+bβ)+3α3=α1－2α2+33+（a－2b)β=(a－2b)β
故当a=2b时，对任意的n维向量β均有α1+αβ－2（α2+bβ)+3α3=0，即当a=2b时，对任意n维列向量β，有α1+αβ，α2+bβ,α3线性相关，故应选A.
方法二
α1+αβ，α2+bβ,α3线性相关，可以得出r(α1+αβ，α2+bβ,α3)≤2,对矩阵(α1+αβ，α2+bβ,α3)作初等列变换（不改变秩）有
(α1+αβ，α2+bβ,α3)→(α1+αβ，α2+bβ,α1+αβ－2(α2+bβ)+3α3
=(α1+αβ,α2+bβ,(a－2b)β)(α1+αβ,α2+bβ,0)
故当a=2b时，r(α1+αβ,α2+bβ，α3）≤2，对任意的n维列向量β，有α1+αβ，α2+bβ,α3线性相关，应选A。
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考研数学三

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