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设n维列向量α1，α2，α3满足α1－2α2+3α3=0对任意的n维列向量β，向量组α1+αβ，α2+bβ，α3线性相关，则参数a,b应满足条件( )。
设n维列向量α1，α2，α3满足α1－2α2+3α3=0对任意的n维列向量β，向量组α1+αβ，α2+bβ，α3线性相关，则参数a,b应满足条件( )。
admin
2022-03-23
49
问题
设n维列向量α
1
，α
2
，α
3
满足α
1
－2α
2
+3α
3
=0对任意的n维列向量β，向量组α
1
+αβ，α
2
+bβ，α
3
线性相关，则参数a,b应满足条件( )。
选项
A、a=2b
B、a=－2b
C、a=b
D、a=－b
答案
A
解析
方法一
因α
1
，α
2
，α
3
满足α
1
－2α
2
+3α
3
=0 （*）
要求向量组α
1
+αβ，α
2
+bβ,α
3
线性相关，其中β是任意n维列向量，利用（*）式，取常数k
1
=1，k
2
=－2，k
3
=3，对向量组a
1
+αβ，α
2
+αβ，α
3
作线性组合，得到
(α
1
+αβ)－2(α
2
+bβ)+3α
3
=α
1
－2α
2
+3
3
+（a－2b)β=(a－2b)β
故当a=2b时，对任意的n维向量β均有α
1
+αβ－2（α
2
+bβ)+3α
3
=0，即当a=2b时，对任意n维列向量β，有α
1
+αβ，α
2
+bβ,α
3
线性相关，故应选A.
方法二
α
1
+αβ，α
2
+bβ,α
3
线性相关，可以得出r(α
1
+αβ，α
2
+bβ,α
3
)≤2,对矩阵(α
1
+αβ，α
2
+bβ,α
3
)作初等列变换（不改变秩）有
(α
1
+αβ，α
2
+bβ,α
3
)→(α
1
+αβ，α
2
+bβ,α
1
+αβ－2(α
2
+bβ)+3α
3
=(α
1
+αβ,α
2
+bβ,(a－2b)β)
(α
1
+αβ,α
2
+bβ,0)
故当a=2b时，r(α
1
+αβ,α
2
+bβ，α
3
）≤2，对任意的n维列向量β，有α
1
+αβ，α
2
+bβ,α
3
线性相关，应选A。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/o6R4777K
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考研数学三
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