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设a1,a2...an为n个n维向量，证明：a1,a2,...an线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由a1,a2...an线性表示。
设a1,a2...an为n个n维向量，证明：a1,a2,...an线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由a1,a2...an线性表示。
admin
2019-09-29
51
问题
设a
1
,a
2
...a
n
为n个n维向量，证明：a
1
,a
2
,...a
n
线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由a
1
,a
2
...a
n
线性表示。
选项
答案
设a
1
,a
2
...a
n
线性无关，对任意的n维向量a,因为a
1
,a
2
...a
n
，a一定线性相关，所以a可由a
1
,a
2
...a
n
唯一线性表示，即任一n维向量总可由a
1
,a
2
...a
n
线性表示，反之，设任一n维向量总可由a
1
,a
2
...a
n
线性表示， [*] 则e
1
,e
2
,...,e
n
可由a
1
,a
2
...a
n
线性表示，故a
1
,a
2
...a
n
的秩不小于e
1
,e
2
,...,e
n
的秩，而e
1
,e
2
,...,e
n
线性无关，所以a
1
,a
2
...a
n
的秩一定为n,即a
1
,a
2
...a
n
线性无关。
解析
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考研数学二
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