求证:当x>0时,不等式(1+x)ln2(1+x)<x2成立.

admin2019-02-20  25

问题 求证:当x>0时,不等式(1+x)ln2(1+x)<x2成立.

选项

答案【证明一】 令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x),则有f(x)在[0,+∞)三阶可导且f(0)=0, f’(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x),f’(0)=0, [*] 于是f"(x)当x≥0时单调增加,又f"(0)=0,所以当x>0时f"(x)>f"(0)=0.从而f’(x)当x≥0时单调增加,又f’(0)=0,故当x>0时f’(x)>f’(0)=0.因此f(x)当x≥0时单调增加,又f(0)=0,所以当x>0时f(x)>f(0)=0.原不等式得证. 【证明二】 由【证明一】求得f"(x)后,因为当x>0时[*]所以f"(x)与x~ln(1+x)同号.由于G(x)[*]x-ln(1+x)满足在[0,+∞)连续,且G(0)=0,[*]([*]x>0),可见当x>0时G(x)>0,于是f"(x)>0.由此可得f’(x)在x≥0单调增加,又f’(0)=0,于是f’(x)>0([*]x>0).所以f(x)在x≥0单调增加,又f(0)=0,故f(x)>0当x>0时成立,即x2>(1+x)ln2(1+x)([*]x>0). 【证明三】 由【证明一】已求得f(0)=0,f’(0)=0,f"(0)=0,f’"(x)>0(x>0),于是,将f(x)在x=0处展开为带拉格朗日余项的二阶泰勒公式,有 [*] 因此(1+x)ln2(1+x)<x2当x>0时成立.

解析
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