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  3. 求证：当x＞0时，不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．

求证：当x＞0时，不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．

admin2019-02-20  38
问题 求证：当x＞0时，不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．
选项
答案【证明一】 令f(x)=x2－(1+x)ln2(1+x)，则有f(x)在[0，+∞)三阶可导且f(0)=0， f’(x)=2x－ln2(1+x)－2ln(1+x)，f’(0)=0， [*] 于是f"(x)当x≥0时单调增加，又f"(0)=0，所以当x＞0时f"(x)＞f"(0)=0．从而f’(x)当x≥0时单调增加，又f’(0)=0，故当x＞0时f’(x)＞f’(0)=0．因此f(x)当x≥0时单调增加，又f(0)=0，所以当x＞0时f(x)＞f(0)=0．原不等式得证． 【证明二】 由【证明一】求得f"(x)后，因为当x＞0时[*]所以f"(x)与x～ln(1+x)同号．由于G(x)[*]x－ln(1+x)满足在[0，+∞)连续，且G(0)=0，[*]([*]x＞0)，可见当x＞0时G(x)＞0，于是f"(x)＞0．由此可得f’(x)在x≥0单调增加，又f’(0)=0，于是f’(x)＞0([*]x＞0)．所以f(x)在x≥0单调增加，又f(0)=0，故f(x)＞0当x＞0时成立，即x2＞(1+x)ln2(1+x)([*]x＞0)． 【证明三】 由【证明一】已求得f(0)=0，f’(0)=0，f"(0)=0，f’"(x)＞0(x＞0)，于是，将f(x)在x=0处展开为带拉格朗日余项的二阶泰勒公式，有 [*] 因此(1+x)ln2(1+x)＜x2当x＞0时成立．
解析
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考研数学三

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