以下4个命题,正确的个数为 ( ) ①设f(x)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,则∫-∞+∞f(x)dx出必收敛,且∫-∞+∞f(x)dx=0; ②设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且存在,则∫-∞+∞f(x)dx必收敛,且 ③若∫-∞+∞f

admin2017-10-12  36

问题 以下4个命题,正确的个数为    (    )
①设f(x)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,则∫-∞+∞f(x)dx出必收敛,且∫-∞+∞f(x)dx=0;
②设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且存在,则∫-∞+∞f(x)dx必收敛,且

③若∫-∞+∞f(x)dx与∫-∞+∞g(x)dx都发散,则∫-∞+∞[f(x)+g(x)]dx未必发散;
④若∫-∞0f(x)dx与∫0+∞f(x)dx都发散,则∫-∞+∞f(x)dx未必发散.

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案A

解析-∞+∞f(x)dx收敛<=>存在常数a,使∫-∞af(x)dx和∫a+∞f(x)dx都收敛,此时
-∞+∞f(x)dx=∫-∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx.
设f(x)=x,则f(x)是(-∞,+∞)上连续的奇函数,且=0.但是
-∞0f(x)dx=∫-∞0xdx=∞,∫0+∞f(x)dx=∫0+∞xdx=∞,
故∫-∞+∞f(x)dx发散,这表明命题①,②,④都不是真命题.
设f(x)=x,g(x)=-x,由上面讨论可知∫-∞+∞f(x)dx与∫-∞+∞g(x)dx都发散,但∫-∞+∞[f(x)+g(x)]dx收敛,这表明命题③是真命题.故应选(A).
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