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  3. 以下4个命题，正确的个数为 ( ) ①设f(x)是(－∞，+∞)上连续的奇函数，则∫－∞＋∞f(x)dx出必收敛，且∫－∞＋∞f(x)dx=0； ②设f(x)在(－∞，+∞)上连续，且存在，则∫－∞＋∞f(x)dx必收敛，且 ③若∫－∞＋∞f

以下4个命题，正确的个数为 ( ) ①设f(x)是(－∞，+∞)上连续的奇函数，则∫－∞＋∞f(x)dx出必收敛，且∫－∞＋∞f(x)dx=0； ②设f(x)在(－∞，+∞)上连续，且存在，则∫－∞＋∞f(x)dx必收敛，且 ③若∫－∞＋∞f

admin2017-10-12  28
问题 以下4个命题，正确的个数为    (    )
①设f(x)是(－∞，+∞)上连续的奇函数，则∫－∞＋∞f(x)dx出必收敛，且∫－∞＋∞f(x)dx=0；
②设f(x)在(－∞，+∞)上连续，且存在，则∫－∞＋∞f(x)dx必收敛，且

③若∫－∞＋∞f(x)dx与∫－∞＋∞g(x)dx都发散，则∫－∞＋∞[f(x)+g(x)]dx未必发散；
④若∫－∞0f(x)dx与∫0＋∞f(x)dx都发散，则∫－∞＋∞f(x)dx未必发散．
选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案A
解析 ∫－∞＋∞f(x)dx收敛<=>存在常数a，使∫－∞af(x)dx和∫a＋∞f(x)dx都收敛，此时
∫－∞＋∞f(x)dx=∫－∞af(x)dx+∫a＋∞f(x)dx．
设f(x)=x，则f(x)是(－∞，+∞)上连续的奇函数，且=0．但是
∫－∞0f(x)dx=∫－∞0xdx=∞，∫0+∞f(x)dx=∫0+∞xdx=∞，
故∫－∞＋∞f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．
设f(x)=x，g(x)=－x，由上面讨论可知∫－∞＋∞f(x)dx与∫－∞＋∞g(x)dx都发散，但∫－∞＋∞[f(x)+g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题．故应选(A)．
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考研数学三

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