求函数f(x,y)=4x一4y—x2一y2在区域D:x2+y2≤18上的最大值和最小值.

admin2016-11-03  29

问题 求函数f(x,y)=4x一4y—x2一y2在区域D:x2+y2≤18上的最大值和最小值.

选项

答案先求出f(x,y)在开区域x2+y2<18内的可能极值点.解方程组得其驻点(2,一2)∈D. 再求f(x,y)在边界x2+y2=18上的可能极值点.下用拉格朗日乘数法求之.为此,设 F(x,y,λ)=4x一4y—x2一y2+λ(x2+y2一18),则 [*] 由前两个方程易得λ=[*]于是xy一2y=xy+2x,即y=-x.将其代入第三个方程得到x=±3,y=±3,求得边界区域D上的驻点(3,一3),(一3,3).因f(2,一2)=8,f(3,一3)=6,f(一3,3)=-42,故f(x,y)在D上的最大值为8,最小值为一42.

解析 f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上必能取得最人值和最小值,其求法与一元函数类似:先求出D内的驻点所对应的函数值;再求出边界上函数的最大、最小值点及其函数值.比较上述各点的函数值,其中最大的(最小的)就是函数在闭区域D上的最大值(最小值).
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