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  3. 求函数f(x，y)=4x一4y—x2一y2在区域D：x2+y2≤18上的最大值和最小值．

求函数f(x，y)=4x一4y—x2一y2在区域D：x2+y2≤18上的最大值和最小值．

admin2016-11-03  25
问题 求函数f(x，y)=4x一4y—x2一y2在区域D：x2+y2≤18上的最大值和最小值．
选项
答案先求出f(x，y)在开区域x2+y2＜18内的可能极值点．解方程组得其驻点(2，一2)∈D． 再求f(x，y)在边界x2+y2=18上的可能极值点．下用拉格朗日乘数法求之．为此，设 F(x，y，λ)=4x一4y—x2一y2+λ(x2+y2一18)，则 [*] 由前两个方程易得λ=[*]于是xy一2y=xy+2x，即y=－x．将其代入第三个方程得到x=±3，y=±3，求得边界区域D上的驻点(3，一3)，(一3，3)．因f(2，一2)=8，f(3，一3)=6，f(一3，3)=－42，故f(x，y)在D上的最大值为8，最小值为一42．
解析 f(x，y)在有界闭区域D上连续，则f(x，y)在D上必能取得最人值和最小值，其求法与一元函数类似：先求出D内的驻点所对应的函数值；再求出边界上函数的最大、最小值点及其函数值．比较上述各点的函数值，其中最大的(最小的)就是函数在闭区域D上的最大值(最小值)．
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