2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，满足(A一aE)(A—bE)=0，其中数a≠b．证明： r(A—aE)+r(A—bE)=n．

设A是n阶矩阵，满足(A一aE)(A—bE)=0，其中数a≠b．证明： r(A—aE)+r(A—bE)=n．

admin2017-10-21  38
问题 设A是n阶矩阵，满足(A一aE)(A—bE)=0，其中数a≠b．证明：
r(A—aE)+r(A—bE)=n．
选项
答案一方面，根据矩阵秩的性质⑦，由(A—aE)(A一bE)=0得到r(A一aE)+r(A—bE)≤n．另一方面，用矩阵的秩的性质③，有r(A一aE)+r(A—bE)≥r((A—aE)一(A—bE))=r((b一a)E)=n．两个不等式结合，推出r(A—aE)+r(A—bE)=n．
解析
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考研数学三

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