2. 考研
  3. 设f(x)在[a，+∞)上连续，在(a，+∞)内可导，且求证：存在ξ∈(a，+∞)，使f’(ξ)=0．

设f(x)在[a，+∞)上连续，在(a，+∞)内可导，且求证：存在ξ∈(a，+∞)，使f’(ξ)=0．

admin2017-05-10  28
问题 设f(x)在[a，+∞)上连续，在(a，+∞)内可导，且求证：存在ξ∈(a，+∞)，使f’(ξ)=0．
选项
答案若f（x)≡f(a)，则结论显然成立，下设f(x)≠f(a)，于是[*]，使得f(x0)≠f(a)．为确定起见，无妨设f(x0)＞f(a)(否则用一f(x)代替f(x)进行讨论)． 令[*]则f(x)＜m＜f(x0)．由f(x)在[a，x0]上连续知，[*]，使f(α)=m． 又因[*]，从而[*]，使f(x1)＜m，由f(x)在[x0，x1]上连续，且f(x0)＞m＞f(x1)知，[*]，使f(β)=m． 综合可得，f(x)在区间[β，β]上连续且可导，又f(α)=f(β)，故由罗尔定理可知，[*]，使得f’(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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