设f(x)在[a，+∞)上连续，在(a，+∞)内可导，且求证：存在ξ∈(a，+∞)，使f’(ξ)=0．

admin2017-05-10 31

问题设f(x)在[a，+∞)上连续，在(a，+∞)内可导，且

求证：存在ξ∈(a，+∞)，使f’(ξ)=0．

选项

答案若f（x)≡f(a)，则结论显然成立，下设f(x)≠f(a)，于是[*]，使得f(x₀)≠f(a)．为确定起见，无妨设f(x₀)＞f(a)(否则用一f(x)代替f(x)进行讨论)．令[*]则f(x)＜m＜f(x₀)．由f(x)在[a，x₀]上连续知，[*]，使f(α)=m．又因[*]，从而[*]，使f(x₁)＜m，由f(x)在[x₀，x₁]上连续，且f(x₀)＞m＞f(x₁)知，[*]，使f(β)=m．综合可得，f(x)在区间[β，β]上连续且可导，又f(α)=f(β)，故由罗尔定理可知，[*]，使得f’(ξ)=0．

解析

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考研数学三

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