设f(x)在[a,+∞)上连续,在(a,+∞)内可导,且求证:存在ξ∈(a,+∞),使f’(ξ)=0.

admin2017-05-10  33

问题 设f(x)在[a,+∞)上连续,在(a,+∞)内可导,且求证:存在ξ∈(a,+∞),使f’(ξ)=0.

选项

答案若f(x)≡f(a),则结论显然成立,下设f(x)≠f(a),于是[*],使得f(x0)≠f(a).为确定起见,无妨设f(x0)>f(a)(否则用一f(x)代替f(x)进行讨论). 令[*]则f(x)<m<f(x0).由f(x)在[a,x0]上连续知,[*],使f(α)=m. 又因[*],从而[*],使f(x1)<m,由f(x)在[x0,x1]上连续,且f(x0)>m>f(x1)知,[*],使f(β)=m. 综合可得,f(x)在区间[β,β]上连续且可导,又f(α)=f(β),故由罗尔定理可知,[*],使得f’(ξ)=0.

解析
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