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设f(x)在[a,+∞)上连续,在(a,+∞)内可导,且求证:存在ξ∈(a,+∞),使f’(ξ)=0.
设f(x)在[a,+∞)上连续,在(a,+∞)内可导,且求证:存在ξ∈(a,+∞),使f’(ξ)=0.
admin
2017-05-10
52
问题
设f(x)在[a,+∞)上连续,在(a,+∞)内可导,且
求证:存在ξ∈(a,+∞),使f’(ξ)=0.
选项
答案
若f(x)≡f(a),则结论显然成立,下设f(x)≠f(a),于是[*],使得f(x
0
)≠f(a).为确定起见,无妨设f(x
0
)>f(a)(否则用一f(x)代替f(x)进行讨论). 令[*]则f(x)<m<f(x
0
).由f(x)在[a,x
0
]上连续知,[*],使f(α)=m. 又因[*],从而[*],使f(x
1
)<m,由f(x)在[x
0
,x
1
]上连续,且f(x
0
)>m>f(x
1
)知,[*],使f(β)=m. 综合可得,f(x)在区间[β,β]上连续且可导,又f(α)=f(β),故由罗尔定理可知,[*],使得f’(ξ)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/oPH4777K
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考研数学三
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