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  3. 解下列微分方程： (Ⅰ)y″－7y′+12y=x满足初始条件y(0)=的特解； (Ⅱ)y″+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ)+y″+y′+y=0的通解．

解下列微分方程： (Ⅰ)y″－7y′+12y=x满足初始条件y(0)=的特解； (Ⅱ)y″+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ)+y″+y′+y=0的通解．

admin2016-10-26  116
问题 解下列微分方程：
(Ⅰ)y″－7y′+12y=x满足初始条件y(0)=的特解；
(Ⅱ)y″+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数；
(Ⅲ)+y″+y′+y=0的通解．
选项
答案(Ⅰ)对应齐次方程的特征方程为λ2－7λ+12=0，它有两个互异的实根λ1=3与λ2=4， 所以，其通解为[*](x)=C1e3x+C2e4x，其中C1与C2是两个任意常数． 由于0不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式y*(x)=Ax+B．代入方程可得A=[*]，所以，原方程的通解为y(x)=[*]+C1e3x+C2e4x． 代入初始条件，则得[*] 因此所求的特解为y(x)=[*](e3x－e3x)． (Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征根为±ai，所以其通解为[*](x)=C1cosax+C2sinax．求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论： ①当a≠b时，特解的形式应为Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程可得 [*] 所以，通解为y(x)=[*]cosbx+C1cosax+C2sinax，其中C1，C2是两个任意常数． ②当a=b时，特解的形式应为Axcosax+Bxsinax，代入原方程可得 A=0．B=[*]． 原方程的通解为y(x)=[*]xsinax+C1cosax+C2sinax，其中C1，C2是两个任意常数． (Ⅲ)这是一个三阶常系数线性齐次方程，其相应的特征方程为λ3+λ2+λ+1=0，分解得(λ+1)(λ2+1)=0，其特征根为λ1=－1，λ2，3=±i，所以方程的通解为 y(x)=C1e－x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常数．
解析
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考研数学一

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