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解下列微分方程: (Ⅰ)y″-7y′+12y=x满足初始条件y(0)=的特解; (Ⅱ)y″+a2y=8cosbx的通解,其中a>0,b>0为常数; (Ⅲ)+y″+y′+y=0的通解.
解下列微分方程: (Ⅰ)y″-7y′+12y=x满足初始条件y(0)=的特解; (Ⅱ)y″+a2y=8cosbx的通解,其中a>0,b>0为常数; (Ⅲ)+y″+y′+y=0的通解.
admin
2016-10-26
116
问题
解下列微分方程:
(Ⅰ)y″-7y′+12y=x满足初始条件y(0)=
的特解;
(Ⅱ)y″+a
2
y=8cosbx的通解,其中a>0,b>0为常数;
(Ⅲ)
+y″+y′+y=0的通解.
选项
答案
(Ⅰ)对应齐次方程的特征方程为λ
2
-7λ+12=0,它有两个互异的实根λ
1
=3与λ
2
=4, 所以,其通解为[*](x)=C
1
e
3x
+C
2
e
4x
,其中C
1
与C
2
是两个任意常数. 由于0不是特征根,所以非齐次微分方程的特解应具有形式y
*
(x)=Ax+B.代入方程可得A=[*],所以,原方程的通解为y(x)=[*]+C
1
e
3x
+C
2
e
4x
. 代入初始条件,则得[*] 因此所求的特解为y(x)=[*](e
3x
-e
3x
). (Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征根为±ai,所以其通解为[*](x)=C
1
cosax+C
2
sinax.求原非齐次微分方程的特解,需分两种情况讨论: ①当a≠b时,特解的形式应为Acosbx+Bsinbx,将其代入原方程可得 [*] 所以,通解为y(x)=[*]cosbx+C
1
cosax+C
2
sinax,其中C
1
,C
2
是两个任意常数. ②当a=b时,特解的形式应为Axcosax+Bxsinax,代入原方程可得 A=0.B=[*]. 原方程的通解为y(x)=[*]xsinax+C
1
cosax+C
2
sinax,其中C
1
,C
2
是两个任意常数. (Ⅲ)这是一个三阶常系数线性齐次方程,其相应的特征方程为λ
3
+λ
2
+λ+1=0,分解得(λ+1)(λ
2
+1)=0,其特征根为λ
1
=-1,λ
2,3
=±i,所以方程的通解为 y(x)=C
1
e
-x
+C
2
cosx+C
3
sinx,其中C
1
,C
2
,C
3
为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/oTu4777K
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考研数学一
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