(2004年)设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

admin2019-03-21  34

问题 (2004年)设有齐次线性方程组
    试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

选项

答案对方程组的系数矩阵作初等行变换,有 [*] 当a=0时,r(A)=1<4,故方程组有非零解,其同解方程组为 χ1+χ2+χ3+χ4=0, 由此得基础解系为 η1(-1,1,0,0)T,η2=(-1,0,1,0)T,η3=(-1,0,0,1)T, 于是所求方程组的通解为 χ=k1η2+k2η2+k3η3,其中k1,k2,k3为任意常数. 当a≠0时, [*] 可知a=-10时,r(A)=3<4,故方程组有非零解,其用自由未知量表示的通解为 χ2=2χ1,χ3=3χ1,χ4=4χ1,χ1任意 由此得基础解系为 η=(1,2,3,4)T, 于是所求方程组的通解为χ=kη,其中k为任意常数.

解析
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