已知α1，α2都是3阶矩阵A的特征向量，特征值分别为－1和1，又3维向量α3满足 Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关．

admin2017-06-08 73

问题已知α₁，α₂都是3阶矩阵A的特征向量，特征值分别为－1和1，又3维向量α₃满足
Aα₃=α₂+α₃．
证明α₁，α₂，α₃线性无关．

选项

答案根据特征向量的性质，α₁，α₂都是A的特征向量，特征值不相等，于是它们是线性无关的．根据定理3．2，只用再证明α₃不可用α₁，α₂线性表示．用反证法．如果α₃可用α₁，α₂表示，设α₃=c₁α₁+c₂α₂，用A左乘等式两边，得 α₂+α₃=－c₁α₁+c₂α₂，减去原式得 α₁=－2c₁α₁，与α₁，α₂线性无关矛盾，说明α₃不可用α₁，α₂线性表示．

解析

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考研数学二

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设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2．当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．
设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2．求A的全部特征值；
设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且求矩阵A．
已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

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