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已知α1,α2都是3阶矩阵A的特征向量,特征值分别为-1和1,又3维向量α3满足 Aα3=α2+α3. 证明α1,α2,α3线性无关.
已知α1,α2都是3阶矩阵A的特征向量,特征值分别为-1和1,又3维向量α3满足 Aα3=α2+α3. 证明α1,α2,α3线性无关.
admin
2017-06-08
68
问题
已知α
1
,α
2
都是3阶矩阵A的特征向量,特征值分别为-1和1,又3维向量α
3
满足
Aα
3
=α
2
+α
3
.
证明α
1
,α
2
,α
3
线性无关.
选项
答案
根据特征向量的性质,α
1
,α
2
都是A的特征向量,特征值不相等,于是它们是线性无关的.根据定理3.2,只用再证明α
3
不可用α
1
,α
2
线性表示. 用反证法.如果α
3
可用α
1
,α
2
表示,设α
3
=c
1
α
1
+c
2
α
2
,用A左乘等式两边,得 α
2
+α
3
=-c
1
α
1
+c
2
α
2
, 减去原式得 α
1
=-2c
1
α
1
, 与α
1
,α
2
线性无关矛盾,说明α
3
不可用α
1
,α
2
线性表示.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/00t4777K
0
考研数学二
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