设A是n阶矩阵，证明存在非0的n阶矩阵B使AB=0的充分必要条件是｜A｜=0．

admin2016-10-20 81

问题设A是n阶矩阵，证明存在非0的n阶矩阵B使AB=0的充分必要条件是｜A｜=0．

选项

答案必要性．对零矩阵及矩阵B按列分块，设B=(β₁，β₂…，β_n)，那么 AB=A(β₁，β₂，…，β_n)=(Aβ₁，Aβ₂，…，A_nβ)=(0，0，…，0)=0．于是Aβ_i=0(j=1，2，…，n)，即β_j是齐次方程组Ax=0的解．由B≠0，知Ax=0有非0解．故｜A｜=0．充分性．因为｜A｜=0，所以齐次线性方程组Ax=0有非0解．设β是Ax=0的一个非零解，那么，令B=(β，0，0，…，0)，则B≠0．而AB=0．

解析

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