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设A是n阶矩阵,证明存在非0的n阶矩阵B使AB=0的充分必要条件是|A|=0.
设A是n阶矩阵,证明存在非0的n阶矩阵B使AB=0的充分必要条件是|A|=0.
admin
2016-10-20
42
问题
设A是n阶矩阵,证明存在非0的n阶矩阵B使AB=0的充分必要条件是|A|=0.
选项
答案
必要性.对零矩阵及矩阵B按列分块,设B=(β
1
,β
2
…,β
n
),那么 AB=A(β
1
,β
2
,…,β
n
)=(Aβ
1
,Aβ
2
,…,A
n
β)=(0,0,…,0)=0. 于是Aβ
i
=0(j=1,2,…,n),即β
j
是齐次方程组Ax=0的解. 由B≠0,知Ax=0有非0解.故|A|=0. 充分性.因为|A|=0,所以齐次线性方程组Ax=0有非0解.设β是Ax=0的一个非零解,那么,令B=(β,0,0,…,0),则B≠0.而AB=0.
解析
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考研数学三
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