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  3. 设A是n阶矩阵，证明存在非0的n阶矩阵B使AB=0的充分必要条件是｜A｜=0．

设A是n阶矩阵，证明存在非0的n阶矩阵B使AB=0的充分必要条件是｜A｜=0．

admin2016-10-20  56
问题 设A是n阶矩阵，证明存在非0的n阶矩阵B使AB=0的充分必要条件是｜A｜=0．
选项
答案必要性．对零矩阵及矩阵B按列分块，设B=(β1，β2…，βn)，那么 AB=A(β1，β2，…，βn)=(Aβ1，Aβ2，…，Anβ)=(0，0，…，0)=0． 于是Aβi=0(j=1，2，…，n)，即βj是齐次方程组Ax=0的解． 由B≠0，知Ax=0有非0解．故｜A｜=0． 充分性．因为｜A｜=0，所以齐次线性方程组Ax=0有非0解．设β是Ax=0的一个非零解，那么，令B=(β，0，0，…，0)，则B≠0．而AB=0．
解析
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考研数学三

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