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求内接于(其中a,b,c>0)的长方体体积的最大值。
求内接于(其中a,b,c>0)的长方体体积的最大值。
admin
2021-05-20
12
问题
求内接于
(其中a,b,c>0)的长方体体积的最大值。
选项
答案
设内接于已知椭球面[*]的长方体的体积为V,且点A(x,y,z)是长方体在第一卦限内的一个顶点。由于椭球面关于三个坐标轴均对称,因此V=8xyz且满足[*] (其中A,b,c>0)。构造拉格朗日函数,设 L(x,y,z,λ)=8xyz+[*] 对x,y,z,λ分别求偏导数,并令其等于0, [*] 上述方程组的前三个式子分别乘以x,y,z,则有 [*] 可得λ﹦0时,8xyz﹦0,不合题意,因此有[*],结合方程组的第四个式子有 [*] 根据题意,内接长方体没有最小值,但存在最大值,因此对应第一卦限顶点为[*] 本题考查条件极值。根据题意找出长方体体积的表达式,结合已知条件构造拉格朗日函数,对函数中各个变量求偏导数令其等于0,求出各驻点,比较各驻点的函数值。
解析
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考研数学一
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