二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32一4x1x2—8x1x3—4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+by22一4y32，求： (1)常数a，b； (2)正交变换的矩阵Q．

admin2019-08-23 23

问题二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+ax₂²+x₃²一4x₁x₂—8x₁x₃—4x₂x₃经过正交变换化为标准形5y₁²+by₂²一4y₃²，求：
(1)常数a，b； (2)正交变换的矩阵Q．

选项

答案(1)令[*]则f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX，矩阵A的特征值为λ₁=5，λ₂=b，λ₃=一4， [*] 从而[*]特征值为λ₁=λ₂=5，λ₃=一4． (2)将λ₁=λ₂=5代入(λE—A)X=0，即(5E—A)X=0，由5E—A=[*]得λ₁=λ₂=5对应的线性无关的特征向量为[*] 将λ₃=一4代入(λE—A)X=0，即(4E+A)X=0，由4E+A=[*]得λ₃=一4对应的线性无关的特征向量为 [*] 所求的正交变换矩阵为[*]

解析

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