设f(x)在[a，b]上连续(a＜b)，且f(x)＞0．证明方程∫ax(t)dt+∫bxdt=0．

admin2016-09-25 38

问题设f(x)在[a，b]上连续(a＜b)，且f(x)＞0．证明方程∫_a^x(t)dt+∫_b^x

dt=0．

选项

答案①令F(x)=∫_a^xf(t)dt+∫_b^x[*]dt，根据积分上限函数的性质知，F(x)在[a，b]上连续且可导．又F(a)=∫_a^af(t)dt+∫_b^a[*]dt＜0，(f(x)＞0) F(b)=∫_a^bf(t)dt+∫_b^b[*]dt=∫_a^bf(t)dt＞0，(f(x)＞0) 所以由零点定理知，方程F(x)=0在(a，b)内至少有一实根． ②又F’(x)=f(x)+[*]＞0，于是F(x)在(a，b)内单调递增，F(x)在(a，b)内与x轴至少有一个交点，即方程F(x)=0在(a，b)内至少有一个实根．故由①、②知，方程∫_a^xf(t)dt+∫_b^x[*]dt=0在(a，b)内有且仅有一个实根．

解析

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