设f(x)一ex一∫0x(x一t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．

admin2016-09-30 11

问题设f(x)一e^x一∫₀^x(x一t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．

选项

答案由f(x)=e^x一∫₀^x(x一t)f(t)dt，得f(x)=e^x一x∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(t)dt，两边对x求导，得f’(x)=e^x一f(t)dt，两边再对x求导得f"(x)+f(x)=e^x，其通解为f(x)=C₁cosx+C₂sinx+[*]e^x．在f(x)=e^x∫₀^x(x一t)f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，在f(x)=e^x—∫₀^xf(t)dt中，令x=0得f(0)=1，于是有C₁=[*]，C₂=[*]，故f(x)=[*](cos+sinx)+[*]e^x．

解析

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考研数学三

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