2. 考研
  3. 设f(x)为[一2，2]上连续的偶函数，且f(x)＞0，F(x)=∫-22|x—t|f(t)dt，求F(x)在[一2，2]上的最小值点．

设f(x)为[一2，2]上连续的偶函数，且f(x)＞0，F(x)=∫-22|x—t|f(t)dt，求F(x)在[一2，2]上的最小值点．

admin2018-05-16  49
问题 设f(x)为[一2，2]上连续的偶函数，且f(x)＞0，F(x)=∫-22|x—t|f(t)dt，求F(x)在[一2，2]上的最小值点．
选项
答案F(x)=∫-22|x—t|f(t)dt=∫-2x(x—t)f(t)dt+∫x2(t一x)f(t)dt =x∫-2xf(t)dt—∫-2xtf(t)dt—∫2xtf(t)dt+x∫2xf(t)dt， F’(x)=∫-2xf(t)dt+∫-2xf(t)dt=∫-20f(t)dt+∫0xf(t)dt+∫20f(t)dt+∫0xf(t)dt， 因为∫-20f(t)dt=∫02f(t)dt，所以F’(x)=2∫0xf(t)dt． 因为f(x)＞0，所以F’(x)=0得x=0， 又因为F"(x)=2f(x)，F”(0)=2f(0)＞0，所以x=0为F(x)在(一2，2)内唯一的极小值点，也为最小值点．
解析
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考研数学二

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