已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)—2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex。 (Ⅰ)求f(x)的表达式; (Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0xf(一t2)dt的拐点。

admin2017-01-21  32

问题 已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)—2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex
(Ⅰ)求f(x)的表达式;
(Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0xf(一t2)dt的拐点。

选项

答案(Ⅰ)齐次微分方程f"(x)+f’(x)—2f(x)=0的特征方程为r2+r—2=0,特征根为r1=1,r2=—2,因此该齐次微分方程的通解为f(x)=C1ex+C2e—2x。 再由f"(x)+f(x)=2ex得2C1ex—3C2e—2x=2ex,因此可知C1=1,C2=0。 所以f(x)的表达式为f(x)=ex。 (Ⅱ)曲线方程为[*],则 [*] 令y"=0得x=0. 下面证明x=0是y"=0唯一的解,当x>0时, [*] 可得y">0; 当x<0时, 2x<0,2(1 +2x2) [*] 可得y"<0.可知x=0是y"=0唯一的解。 同时,由上述讨论可知曲线 y=f(x2)∫0xf(一t2)dt 在x=0左、右两边的凹凸性相反,因此(0,0)点是曲线y=f(x2)∫0xf(一t2)dt唯一的拐点。

解析
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