下列命题中 ①如果矩阵AB=E,则A可逆且A-1=B; ②如果n阶矩阵A,B满足(AB)2=E,则(BA)2=E; ③如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则A+B必不可逆; ④如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则AB必不可逆。 正确的是( )

admin2019-05-15  18

问题 下列命题中
①如果矩阵AB=E,则A可逆且A-1=B;
②如果n阶矩阵A,B满足(AB)2=E,则(BA)2=E;
③如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则A+B必不可逆;
④如果矩阵A,B均为n阶不可逆矩阵,则AB必不可逆。
正确的是(    )

选项 A、①②。
B、①④。
C、②③。
D、②④。

答案D

解析 如果A、B均为n阶矩阵,命题①当然正确,但是题中没有n阶矩阵这一条件,故①不正确。
例如

显然A不可逆。
    若A、B为n阶矩阵,(AB)2=E,即(AB)(AB)=E,则可知A、B均可逆,于是ABA=B-1,从而BABA=E,即(BA)2=E。因此②正确。
若设

显然A、B都不可逆,但A+B=可逆,可知③不正确。
    由于A、B为均n阶不可逆矩阵,知|A|=|B|=0,且结合行列式乘法公式,有|AB|=|A||B|=0,故AB必不可逆。因此④正确。
    所以应选D。
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