2. 考研
  3. 下列命题中 ①如果矩阵AB=E，则A可逆且A-1=B； ②如果n阶矩阵A，B满足(AB)2=E，则(BA)2=E； ③如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆； ④如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆。 正确的是( )

下列命题中 ①如果矩阵AB=E，则A可逆且A-1=B； ②如果n阶矩阵A，B满足(AB)2=E，则(BA)2=E； ③如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆； ④如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆。 正确的是( )

admin2019-05-15  14
问题 下列命题中
①如果矩阵AB=E，则A可逆且A-1=B；
②如果n阶矩阵A，B满足(AB)2=E，则(BA)2=E；
③如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆；
④如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆。
正确的是(    )
选项 A、①②。
B、①④。
C、②③。
D、②④。
答案D
解析 如果A、B均为n阶矩阵，命题①当然正确，但是题中没有n阶矩阵这一条件，故①不正确。
例如

显然A不可逆。
    若A、B为n阶矩阵，(AB)2=E，即(AB)(AB)=E，则可知A、B均可逆，于是ABA=B-1，从而BABA=E，即(BA)2=E。因此②正确。
若设

显然A、B都不可逆，但A+B=可逆，可知③不正确。
    由于A、B为均n阶不可逆矩阵，知｜A｜=｜B｜=0，且结合行列式乘法公式，有｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，故AB必不可逆。因此④正确。
    所以应选D。
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考研数学一

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