已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*。 (1)证明：{an-1}是等比数列； (2)求数列{Sn}的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由。

admin2016-01-20 50

问题已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*。
(1)证明：{a_n-1}是等比数列；
(2)求数列{S_n}的通项公式，并求出n为何值时，S_n取得最小值，并说明理由。

选项

答案(1)证明：当n=1时，a₀=-14；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-5a_n+5a_n-1+1，所以a_n-1=[*](a_n-1-1)。 (1)当n=1时，a₀=-14；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-5a_n+5a_n-1+1，所以a_n-1=[*](a_n-1-1)，又a₁-1=-15≠0，所以数列{a_n-1}是等比数列； (2)由(1)知：a_n-1=-15．[*]，得a_n=1-15．[*]，从而 S_n=75．[*]+n-90(n∈N^*)；解不等式S_n＜S_n+1，得[*]+1≈14．9，当n≥15时，数列{S_n}单调递增；同理可得，当n≤15时，数列{S_n}单调递减；故当n=15时，S_n取得最小值。

解析

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已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*。 (1)证明：{an-1}是等比数列； (2)求数列{Sn}的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由。

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