已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=f2(x)，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是( )

admin2016-12-30 61

问题已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=f²(x)，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是( )

选项 A、n![f(x)]ⁿ⁺¹
B、n[f(x)ⁿ⁺¹
C、f(x)]²ⁿ
D、n![f(x)]²ⁿ

答案A

解析由f’(x)=f²(x)可得f’’(x)=2f(x)f’(x)=2![f(x)]³。假设f^(k)(x)=k![f(x)]^k+1，则f^(k+1)(x)=(k+1)k!f(x)]^kf’(x)=(k+1)![f(x)^k+2，由数学归纳法可知,f⁽ⁿ⁾(x)=n![f(x)]ⁿ⁺¹对一切正整数成立。

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