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已知f"(x)＜0，f(0)=0，试证：对任意的两正数x1和x2，恒有f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)成立．
已知f"(x)＜0，f(0)=0，试证：对任意的两正数x1和x2，恒有f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)成立．
admin
2017-04-24
82
问题
已知f"(x)＜0，f(0)=0，试证：对任意的两正数x
1
和x
2
，恒有f(x
1
+x
2
)＜f(x
1
)+f(x
2
)成立．
选项
答案
不妨设x
1
≤x
2
，由拉格朗日中值定理可知 f(x
1
)一 f(0)=f’(c
1
)x
1
(0＜c
1
＜x
1
) f(x
1
+x
2
)一f(x
2
)=f’(c
2
)x
1
(x
2
＜c
2
＜x
1
+x
2
) 又f"(x)＜0，则f’(x)单调减少，故f’(c
2
)＜f’(c
1
)，而x
1
＞0 则 f(x
1
+x
2
) 一 f(x
2
)＜f(x
1
)一f(0) 又f(0)=0，则 f(x
1
+x
2
)＜f(x
1
)+f(x
2
) 令F(x)=f(x+x
2
) 一f(x) 则 F’(x)=f’(x+ x
2
) 一 f’(x)=x
2
f"(ξ)＜0 (x＜ξ＜x+x
2
) 所以F(x)单调减少，从而F(x
1
)≤F(0) 即 f(x
1
+x
2
)一f(x
1
)≤f(x
2
) 一f(0)=f(x
2
) 故 f(x
1
+x
2
)≤f(x
1
)+f(x
2
)．
解析
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考研数学二
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