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  3. 证明：二次型f(x)=xTAx在｜｜x｜｜=1时的最大值为矩阵A的最大特征值．

证明：二次型f(x)=xTAx在｜｜x｜｜=1时的最大值为矩阵A的最大特征值．

admin2016-05-31  44
问题 证明：二次型f(x)=xTAx在｜｜x｜｜=1时的最大值为矩阵A的最大特征值．
选项
答案A为实对称矩阵，则存在一正交矩阵T，使得 TAT-1=diag(λ1，λ2，…，λn)=A， 其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值，不妨设λ1最大． 作正交变换y=Tx，即x=T-1y，其中T是正交矩阵，因此T-1=TT有f=xTAx=yTTATTy=yTAy=[*] 因为y=Tx，所以当｜｜x｜｜=1时，有 ｜｜x｜｜2=xTx=yTTTTy=｜｜y｜｜2=1， 即[*]=1． 因此 [*] 又当y1=1，y2=y3=…=yn=0时，f=λ1，所以fmax=λ1．
解析
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考研数学三

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