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证明:二次型f(x)=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值.
证明:二次型f(x)=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值.
admin
2016-05-31
30
问题
证明:二次型f(x)=x
T
Ax在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值.
选项
答案
A为实对称矩阵,则存在一正交矩阵T,使得 TAT
-1
=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
)=A, 其中λ
1
,λ
2
,…,λ
n
为A的特征值,不妨设λ
1
最大. 作正交变换y=Tx,即x=T
-1
y,其中T是正交矩阵,因此T
-1
=T
T
有f=x
T
Ax=y
T
TAT
T
y=y
T
Ay=[*] 因为y=Tx,所以当||x||=1时,有 ||x||
2
=x
T
x=y
T
TT
T
y=||y||
2
=1, 即[*]=1. 因此 [*] 又当y
1
=1,y
2
=y
3
=…=y
n
=0时,f=λ
1
,所以f
max
=λ
1
.
解析
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0
考研数学三
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