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设f(x)是(﹣∞,﹢∞)上连续的偶函数,且|f(x)|≤m,则F(x)=∫0xte﹣t2f(t)dt是(﹣∞,﹢∞)上的( )
设f(x)是(﹣∞,﹢∞)上连续的偶函数,且|f(x)|≤m,则F(x)=∫0xte﹣t2f(t)dt是(﹣∞,﹢∞)上的( )
admin
2019-12-06
28
问题
设f(x)是(﹣∞,﹢∞)上连续的偶函数,且|f(x)|≤m,则F(x)=∫
0
x
te
﹣t
2
f(t)dt是(﹣∞,﹢∞)上的( )
选项
A、有界偶函数
B、无界偶函数
C、有界奇函数
D、无界奇函数
答案
A
解析
首先讨论F(x)的奇偶性:
对任意的x∈(﹣∞,﹢∞),有
F(﹣x)=∫
0
﹣x
te
﹣t
2
f(t)dt,
令t=﹣u,则
F(﹣x)=∫
0
x
ue
﹣u
2
f(﹣u)du=∫
0
x
ue
﹣u
2
f(u)du=F(x),
故F(x)是(﹣∞,﹢∞)上的偶函数。
其次讨论F(x)的有界性:
因F(x)是(﹣∞,﹢∞)上的偶函数,故可只讨论x≥0时,F(x)的有界性。由于
|F(x)|=∫
0
x
te
﹣t
2
f(t)dt≤∫
0
x
te
﹣t
2
|f(t)|dt
≤m∫
0
﹢∞
te
﹣t
2
dt=
,
所以F(x)是(﹣∞,﹢∞)上的有界函数。
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0
考研数学二
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