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  3. 设f(x)是(﹣∞，﹢∞)上连续的偶函数，且｜f(x)｜≤m，则F(x)＝∫0xte﹣t2f(t)dt是(﹣∞，﹢∞)上的( )

设f(x)是(﹣∞，﹢∞)上连续的偶函数，且｜f(x)｜≤m，则F(x)＝∫0xte﹣t2f(t)dt是(﹣∞，﹢∞)上的( )

admin2019-12-06  23
问题 设f(x)是(﹣∞，﹢∞)上连续的偶函数，且｜f(x)｜≤m，则F(x)＝∫0xte﹣t2f(t)dt是(﹣∞，﹢∞)上的(     )
选项 A、有界偶函数
B、无界偶函数
C、有界奇函数
D、无界奇函数
答案A
解析 首先讨论F(x)的奇偶性：
对任意的x∈(﹣∞，﹢∞)，有
F(﹣x)＝∫0﹣xte﹣t2f(t)dt，
令t＝﹣u，则
F(﹣x)＝∫0xue﹣u2f(﹣u)du＝∫0xue﹣u2f(u)du＝F(x)，
故F(x)是(﹣∞，﹢∞)上的偶函数。
其次讨论F(x)的有界性：
因F(x)是(﹣∞，﹢∞)上的偶函数，故可只讨论x≥0时，F(x)的有界性。由于
｜F(x)｜＝∫0xte﹣t2f(t)dt≤∫0xte﹣t2｜f(t)｜dt
  ≤m∫0﹢∞te﹣t2dt＝
，
所以F(x)是(﹣∞，﹢∞)上的有界函数。
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考研数学二

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