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某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质率分别为0．8，0．7与0．9．已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0．2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合卡各率为0．6
某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质率分别为0．8，0．7与0．9．已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0．2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合卡各率为0．6
admin
2017-10-25
77
问题
某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质率分别为0．8，0．7与0．9．已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0．2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合卡各率为0．6；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为0．9．
(Ⅰ)求该仪器的不合格率；
(Ⅱ)如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大．
选项
答案
记事件8=“仪器不合格”，A
i
=“仪器上有i个部件不是优质品”，i=0，1，2，3，显然A
0
，A
1
，A
2
，A
3
构成一个完备事件组，且 P(B｜A
0
)=0， P(B｜A
1
)=0．2， P(B｜A
2
)=0．6， P(B｜A
3
)=0．9， P(A
0
)=0．8×0．7×0．9=0．504， P(A
1
)=0．2×0．7×0．9+0．8×0．3×0．9+0．8×0．7×0．1=0．398， P(A
3
)=0．2×0．3×0．1=0．006， P(A
2
)=1—P(A
0
)一P(A
1
)一P(A
3
)=0．092． (Ⅰ)应用全概率公式，有 P(B)=[*]P(A
i
)P(B｜A
i
) =0．504×0+0．398×0．2+0．092×0．6+0．006×0．9=0．1402． (Ⅱ)应用贝叶斯公式，有 P(A
0
｜B)=0， P(A
1
｜B)=[*]， P(A
2
｜B)=[*]， P(A
3
｜B)=[*]． 从计算结果可知，一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大，事实上，根据条件概率的性质：[*]P(A
i
｜B)=1，在我们计算出P(A
1
｜B)=[*]＞0．5之后，即可以确定对于i=2，3，P(A
i
｜B)都小于0．5，从而不必再计算P(A
2
｜B)与P(A
3
｜B)就可以得到问题(Ⅱ)的答案．
解析
依题意，仪器的不合格率与组装该仪器的三个部件的质量有关，即三个部件是否为优质品是导致“仪器不合格”发生的全部因素，因此我们要对导致“仪器不合格”这一事件发生的所有可能因素进行全集分解，再应用全概率公式计算出仪器不合格的概率；如果在发现了仪器不合格，从而返回来追溯分析当初组装仪器上三个部件的优质品数量，则需要应用贝叶斯公式．
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考研数学三
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