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某种仪器由三个部件组装而成,假设各部件质量互不影响且它们的优质率分别为0.8,0.7与0.9.已知如果三个部件都是优质品,则组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,则组装后的仪器不合格率为0.2;如果有两个部件不是优质品,则仪器的不合卡各率为0.6
某种仪器由三个部件组装而成,假设各部件质量互不影响且它们的优质率分别为0.8,0.7与0.9.已知如果三个部件都是优质品,则组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,则组装后的仪器不合格率为0.2;如果有两个部件不是优质品,则仪器的不合卡各率为0.6
admin
2017-10-25
60
问题
某种仪器由三个部件组装而成,假设各部件质量互不影响且它们的优质率分别为0.8,0.7与0.9.已知如果三个部件都是优质品,则组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,则组装后的仪器不合格率为0.2;如果有两个部件不是优质品,则仪器的不合卡各率为0.6;如果三件都不是优质品,则仪器的不合格率为0.9.
(Ⅰ)求该仪器的不合格率;
(Ⅱ)如果已发现一台仪器不合格,问它有几个部件不是优质品的概率最大.
选项
答案
记事件8=“仪器不合格”,A
i
=“仪器上有i个部件不是优质品”,i=0,1,2,3,显然A
0
,A
1
,A
2
,A
3
构成一个完备事件组,且 P(B|A
0
)=0, P(B|A
1
)=0.2, P(B|A
2
)=0.6, P(B|A
3
)=0.9, P(A
0
)=0.8×0.7×0.9=0.504, P(A
1
)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398, P(A
3
)=0.2×0.3×0.1=0.006, P(A
2
)=1—P(A
0
)一P(A
1
)一P(A
3
)=0.092. (Ⅰ)应用全概率公式,有 P(B)=[*]P(A
i
)P(B|A
i
) =0.504×0+0.398×0.2+0.092×0.6+0.006×0.9=0.1402. (Ⅱ)应用贝叶斯公式,有 P(A
0
|B)=0, P(A
1
|B)=[*], P(A
2
|B)=[*], P(A
3
|B)=[*]. 从计算结果可知,一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大,事实上,根据条件概率的性质:[*]P(A
i
|B)=1,在我们计算出P(A
1
|B)=[*]>0.5之后,即可以确定对于i=2,3,P(A
i
|B)都小于0.5,从而不必再计算P(A
2
|B)与P(A
3
|B)就可以得到问题(Ⅱ)的答案.
解析
依题意,仪器的不合格率与组装该仪器的三个部件的质量有关,即三个部件是否为优质品是导致“仪器不合格”发生的全部因素,因此我们要对导致“仪器不合格”这一事件发生的所有可能因素进行全集分解,再应用全概率公式计算出仪器不合格的概率;如果在发现了仪器不合格,从而返回来追溯分析当初组装仪器上三个部件的优质品数量,则需要应用贝叶斯公式.
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考研数学三
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