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二阶常系数非齐次线性微分方程y’’－2y’+5y=excos2x的通解为y(x)=________。
二阶常系数非齐次线性微分方程y’’－2y’+5y=excos2x的通解为y(x)=________。
admin
2021-05-19
44
问题
二阶常系数非齐次线性微分方程y
’’
－2y
’
+5y=e
x
cos
2
x的通解为y(x)=________。
选项
答案
e
x
(C
1
cos2x+C
2
sin2x)+[*]xe
x
sin2x，其中C
1
，C
2
为任意常数
解析
该方程的齐次方程所对应的特征方程为λ
2
一2λ+5=0，解得特征根为λ=1±2i，可知齐次方程的通解为
e
x
(C
1
cos2x+C
2
sin2x)。
该方程的非齐次项
e
x
cos
2
x=e
x
e
x
cos2x，
根据叠加原理
y
’’
一2y
’
+5y=e
x
cos
2
x=
e
x
cos2x，
此方程的特解可由如下两个方程的特解相加求得，
y
’’
一2y
’
+5y=
e
x
， (1)
y
’’
一2y
’
+5y=
e
x
cos2x， (2)
根据特征根λ=1±2i可知，方程(1)的特解可设为y
1
*
=Ce
x
代入方程(1)解得C=
，
故y
1
*
=
e
x
；方程(2)的特解可设为
y
2
*
=xe
x
(Acos2x+Bsin2x)，
代入方程(2)解得A=0，B=
xe
x
sin2x。
则y
*
(x)=y
1
*
+y
2
*
=
xe
x
sin2x。
故该方程的通解为
e
x
(C
1
cos2x+C
2
sin2x)+
xe
x
sin2x。
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