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已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x,x,x)化成标准形; (Ⅲ)求方程f(x1,x2,x3)=0的解。
已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x,x,x)化成标准形; (Ⅲ)求方程f(x1,x2,x3)=0的解。
admin
2018-01-26
18
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(1-a)x
1
2
+(1-a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2。
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x,x,x)化成标准形;
(Ⅲ)求方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的解。
选项
答案
(Ⅰ)由已知可得,二次型的矩阵A=[*],且A的秩为2,从而|A|=[*]=-8a=0,解得a=0。 (Ⅱ)当a=0时,A=[*],由特征多项式 |λE-A|=[*]=(λ-2)[(λ-1)
2
-1]=λ(λ-2)
2
=0, 得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0。 当λ=2时,由(2E-A)x=0及系数矩阵[*],得两个线性无关的特征向量α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(0,0,1)
T
。 当λ=0时,由(0E-A)x=0及系数矩阵[*],得特征向量α
3
=(1,-1,0)
T
。 容易看出,α
1
,α
2
,α
3
已两两正交,故只需将它们单位化,即得 γ
1
=[*](1,1,0)
T
,γ
2
=(0,0,1)
T
,γ
3
=[*](1,-1,0)
T
。 那么令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*],则在正交变换X=Qy下,二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)化为标准形f(
1
,x
2
,x
3
)=2y
1
2
+2y
2
2
。 (Ⅲ)由(Ⅰ)中结论,f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
=0,于是得[*]所以方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的通解为k(1,-1,0)
T
,其中k为任意常数。
解析
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考研数学一
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