设向量α=[a1,a2……an]T，β=[b1,b2……bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求： A能否相似于对角阵，说明理由．

admin2015-08-17 45

问题设向量α=[a₁,a₂……a_n]^T，β=[b₁,b₂……b_n]^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0，记n阶矩阵A=αβ^T，求：
A能否相似于对角阵，说明理由．

选项

答案A不能相似于对角阵，因α≠0，β≠0，故A=αβ^T≠0，r(A)=r≠0(其实r(A)=1，为什么?)．从而对应于特征值λ=0(n重)的线性无关的特征向量的个数是n一r≠n个，故A不能对角化．

解析

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考研数学一

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