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证明:实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B,使得AB+BTA正定.
证明:实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B,使得AB+BTA正定.
admin
2015-08-17
22
问题
证明:实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B,使得AB+B
T
A正定.
选项
答案
必要性 取B=A
一1
,则AB+B
T
A=E+(A
-1
)
T
A=2E,所以AB+B
T
A是正定矩阵.充分性用反证法.若A不是可逆矩阵,则r(A)<n,于是存在实向量x
0
≠0使得Ax
0
=0.因为A是实对称矩阵,B是实矩阵,于是有x
0
T
(AB+B
T
A)x
0
=(Ax
0
)
T
Bx
0
+x
0
T
B
T
(Ax
0
)=0,这与AB+B
T
A是正定矩阵矛盾.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Dmw4777K
0
考研数学一
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