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设f(x)在(-1,1)内二阶连续可导,且f"(x)≠0.证明:对(-1,1)内任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x].
设f(x)在(-1,1)内二阶连续可导,且f"(x)≠0.证明:对(-1,1)内任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x].
admin
2022-10-09
65
问题
设f(x)在(-1,1)内二阶连续可导,且f"(x)≠0.证明:对(-1,1)内任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x].
选项
答案
对任意x∈(-1,1),根据微分中值定理,得f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x],其中0<θ(x)<1.因为f"(x)∈C(-1,1)且f"(x)≠0,所以f"(x)在(-1,1)内保号,不妨设f"(x)>0,则f’(x)在(-1,1)内单调增加,又由于x≠0,所以θ(x)是唯一的.
解析
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考研数学三
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