设曲线L位于Oxy平面的第一象限内,过L上任意一点M处的切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度,若L过点,求L的方程.

admin2017-05-31  53

问题 设曲线L位于Oxy平面的第一象限内,过L上任意一点M处的切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度,若L过点,求L的方程.

选项

答案设L的方程为y=y(x),过点M(x,y(x))的切线与y轴的交点为A(0,y(x)-xy’(x)),又 [*]=x2+[y(x)-(y(x)-xy’(x))]2=x2+x2y’2, [*]=(y-xy’)2, 按题意得 x2+x2y’2=(y-xy’)2,即 2xyy’-y2=-x2. [*] 积分得 ln(1+u2)=-lnx+C1,1+u2=[*] 代入u=[*]得y2+x2=Cx. 由初始条件 [*],得C=3. 因此L的方程为 y2+x2=3x.

解析
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