设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，若L过点，求L的方程．

admin2017-05-31 54

问题设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度

，若L过点

，求L的方程．

选项

答案设L的方程为y=y(x)，过点M(x，y(x))的切线与y轴的交点为A(0，y(x)－xy’(x))，又 [*]=x²+[y(x)－(y(x)－xy’(x))]²=x²+x²y’²， [*]=(y－xy’)²，按题意得 x²+x²y’²=(y－xy’)²，即 2xyy’－y²=－x²． [*] 积分得 ln(1+u²)=－lnx+C₁，1+u²=[*] 代入u=[*]得y²+x²=Cx．由初始条件 [*]，得C=3．因此L的方程为 y²+x²=3x．

解析

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