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设曲线L位于Oxy平面的第一象限内,过L上任意一点M处的切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度,若L过点,求L的方程.
设曲线L位于Oxy平面的第一象限内,过L上任意一点M处的切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度,若L过点,求L的方程.
admin
2017-05-31
130
问题
设曲线L位于Oxy平面的第一象限内,过L上任意一点M处的切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度
,若L过点
,求L的方程.
选项
答案
设L的方程为y=y(x),过点M(x,y(x))的切线与y轴的交点为A(0,y(x)-xy’(x)),又 [*]=x
2
+[y(x)-(y(x)-xy’(x))]
2
=x
2
+x
2
y’
2
, [*]=(y-xy’)
2
, 按题意得 x
2
+x
2
y’
2
=(y-xy’)
2
,即 2xyy’-y
2
=-x
2
. [*] 积分得 ln(1+u
2
)=-lnx+C
1
,1+u
2
=[*] 代入u=[*]得y
2
+x
2
=Cx. 由初始条件 [*],得C=3. 因此L的方程为 y
2
+x
2
=3x.
解析
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考研数学二
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