2. 考研
  3. 设α1,α2,α3,…,αn为n个n维向量，证明：α1,α2,α3,…,αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α1,α2,α3,…,αn线性表示。

设α1,α2,α3,…,αn为n个n维向量，证明：α1,α2,α3,…,αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α1,α2,α3,…,αn线性表示。

admin2021-11-25  55
问题 设α1,α2,α3,…,αn为n个n维向量，证明：α1,α2,α3,…,αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α1,α2,α3,…,αn线性表示。
选项
答案设α1,α2,α3,…,αn线性无关，对任意的n维向量α，因为α1,α2,α3,…,αn，α一定线性相关，所以α可由α1,α2,α3,…,αn唯一线性表示，即任一n维向量总可由α1,α2,α3,…,αn线性表示。 反之，设任一n维向量总可由α1,α2,α3,…,αn线性表示， [*] 则e1,e2,e3,..,en可由α1,α2,α3,…,αn线性表示，故α1,α2,α3,…,αn的秩不小于e1,e2,e3,..,en的秩，而e1,e2,e3,..,en线性无关，所以α1,α2,α3,…,αn的秩一定为n，即α1,α2,α3,…,αn线性无关。
解析
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考研数学二

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