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设α1,α2,α3,…,αn为n个n维向量，证明：α1,α2,α3,…,αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α1,α2,α3,…,αn线性表示。
设α1,α2,α3,…,αn为n个n维向量，证明：α1,α2,α3,…,αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α1,α2,α3,…,αn线性表示。
admin
2021-11-25
74
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
为n个n维向量，证明：α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
线性表示。
选项
答案
设α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
线性无关，对任意的n维向量α，因为α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
，α一定线性相关，所以α可由α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
唯一线性表示，即任一n维向量总可由α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
线性表示。 反之，设任一n维向量总可由α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
线性表示， [*] 则e
1
,e
2
,e
3
,..,e
n
可由α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
线性表示，故α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
的秩不小于e
1
,e
2
,e
3
,..,e
n
的秩，而e
1
,e
2
,e
3
,..,e
n
线性无关，所以α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
的秩一定为n，即α
1
,α
2
,α
3
,…,α
n
线性无关。
解析
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考研数学二
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