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证明: 方程xn+px+q=0(n∈N+,p,q∈R)当n为偶数时至多有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根.
证明: 方程xn+px+q=0(n∈N+,p,q∈R)当n为偶数时至多有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根.
admin
2022-11-23
21
问题
证明:
方程x
n
+px+q=0(n∈N
+
,p,q∈R)当n为偶数时至多有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根.
选项
答案
令f(x)=x
n
+px+q,则f’(x)=nx
n-1
+p.当n≤3时,显然成立.当n≥4时, (ⅰ)设n为偶数.如果方程x
n
+px+q=0有三个以上的实根,则存在实数x
1
,x
2
,x
3
,使得x
1
<x
2
<x
3
,并且f(x
1
)=f(x
2
)=f(x
3
)=0.根据罗尔中值定理,存在ξ
1
∈(x
1
,x
2
),ξ
2
∈(x
2
,x
3
),使得f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=0,但这是不可能的,因为f’(x)=0是奇次方程nx
n-1
+p=0,它在实数集R上有且仅有一个实根[*]故方程x
n
+px+q=0当n为偶数时至多有两个实根. (ⅱ)设n为奇数.如果方程x
n
+px+q=0有四个以上不同的实根,则根据罗尔中值定理,存在ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,使得ξ
1
<ξ
2
<ξ
3
,并且f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=f’(ξ
3
)=0,但这是不可能的.因为f’(x)=0是偶次方程nx
n-1
+p=0,它在实数集R上最多只有两个实根.故方程x
n
+px+q=0当n为奇数时至多有三个实根.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/plgD777K
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考研数学一
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