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  3. 证明： 方程xn+px+q=0(n∈N+，p，q∈R)当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根．

证明： 方程xn+px+q=0(n∈N+，p，q∈R)当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根．

admin2022-11-23  34
问题 证明：
    方程xn+px+q=0(n∈N+，p，q∈R)当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根．
选项
答案令f(x)=xn+px+q，则f’(x)=nxn-1+p．当n≤3时，显然成立．当n≥4时， (ⅰ)设n为偶数．如果方程xn+px+q=0有三个以上的实根，则存在实数x1，x2，x3，使得x1＜x2＜x3，并且f(x1)=f(x2)=f(x3)=0．根据罗尔中值定理，存在ξ1∈(x1，x2)，ξ2∈(x2，x3)，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0，但这是不可能的，因为f’(x)=0是奇次方程nxn-1+p=0，它在实数集R上有且仅有一个实根[*]故方程xn+px+q=0当n为偶数时至多有两个实根． (ⅱ)设n为奇数．如果方程xn+px+q=0有四个以上不同的实根，则根据罗尔中值定理，存在ξ1，ξ2，ξ3，使得ξ1＜ξ2＜ξ3，并且f’(ξ1)=f’(ξ2)=f’(ξ3)=0，但这是不可能的．因为f’(x)=0是偶次方程nxn-1+p=0，它在实数集R上最多只有两个实根．故方程xn+px+q=0当n为奇数时至多有三个实根．
解析
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考研数学一

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