2. 考研
  3. 设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)-f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，证明：｜∫01f(x)dx｜≤1/2ln2．

设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)-f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，证明：｜∫01f(x)dx｜≤1/2ln2．

admin2022-10-25  72
问题 设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)-f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，证明：｜∫01f(x)dx｜≤1/2ln2．
选项
答案由｜f(x)｜=｜f(x)-f(1)｜≤｜arctanx-arctan1｜=｜arctanx-π/4｜得｜∫01f(x)dx｜≤∫01｜f(x)｜dx≤∫01｜arctanx-π/4｜dx=∫01(π/4-arctanx)dx=π/4-∫01arctanxdx=π/4-xarctanx｜01+∫01x/(1+x2)dx=1/2ln(1+x2)｜01=1/2ln2．
解析
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考研数学三

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