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过平面x+28y-2z+17=0和平面5x+8y-z+1=0的交线,作球面x2+y2+z2=1的切平面,求切平面方程.
过平面x+28y-2z+17=0和平面5x+8y-z+1=0的交线,作球面x2+y2+z2=1的切平面,求切平面方程.
admin
2023-03-22
33
问题
过平面x+28y-2z+17=0和平面5x+8y-z+1=0的交线,作球面x
2
+y
2
+z
2
=1的切平面,求切平面方程.
选项
答案
过平面x+28y-2z+17=0和平面5x+8y-z+1=0的交线的平面方程为 x+28y-2z+17+λ(5x+8y-z+1)=0, 即 (1+5λ)x+(28+8λ)y-(2+λ)z+17+λ=0. 假设平面和球面的切点为(x
0
,y
0
,z
0
),于是在该点的法向量为(x
0
,y
0
,z
0
).所以得到 [*] 由式(2)解出x
0
,y
0
,z
0
和t,λ的关系,代入式(1),并注意到式(3),于是得到 t+17+λ=0, 再次代入式(1),得到 (1+5λ)
2
+(28+8λ)
2
+(2+λ)
2
=(17+λ)
2
,89λ
2
+428λ+500=0, 解得λ
1
=-2,λ
2
=-250/89.当λ
1
=-2,得到所求平面为3x-4y-5=0;当λ
2
=-250/89,得到所求平面为 387x-164y-24z-421=0.
解析
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0
考研数学二
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