2. 考研
  3. 设函数y(x)(x≥0)二阶可导且yˊ(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S2

设函数y(x)(x≥0)二阶可导且yˊ(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S2

admin2016-09-13  59
问题 设函数y(x)(x≥0)二阶可导且yˊ(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．
选项
答案曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y－y=yˊ(x)(X－x)，它与x轴的交点为N(x－[*]，0)．由于yˊ(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是 [*] 又S2=∫0xy(t)dt，由条件2S1－S2=1，知 [*]－∫0xy(t)dt=1． ① 两边对x求导得[*]－y=0，即yyˊˊ=(yˊ)2．令p=yˊ，则上述方程可化为 [*] 解得p=C1y，且[*]=C1y．于是y=[*] 注意到y(0)=1，并由①式得yˊ(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲线的方程是y=ex．
解析
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考研数学三

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