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  3. 利用代换y=u／cosx将方程y"cosx－2y’sinx+3ysinx=ex化简，并求出原方程的通解。

利用代换y=u／cosx将方程y"cosx－2y’sinx+3ysinx=ex化简，并求出原方程的通解。

admin2018-04-14  52
问题 利用代换y=u／cosx将方程y"cosx－2y’sinx+3ysinx=ex化简，并求出原方程的通解。
选项
答案方法一：由y=u／cosx=usecx，有 y’=u’secx+usecxtanx， y"=u"secx+2u’secxtanx+u(secxtan2x+sec3x)， 代入原方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex，得 u"+4u=ex。(*) 先求其相应齐次方程的通解，由于其特征方程为λ2+4=0，则特征方程的根为λ=±2i。所以通解为 [*](x)=C1cos2x+C2sin2x(C1，C2为任意常数)。 再求非齐次方程的特解，特解应具有形式u*(x)=Aex，代入(*)式，得 (Aex)"+4Aex=Aex+4Aex=5Aex=ex， 解得，A=1／5，因此u*(x)=1／5ex。 故(*)的通解为 u(x)=C1cos2x+C2sin2x+[*]ex(C1，C2为任意常数)。 所以，原微分方程的通解为 y=C1[*]，其中C1，C2为任意常数。 方法二：由y=u／cosx有u=ycosx，于是 u’=ycosx－ycosx， u"=y"cosx－2y’cosx－ycosx， 原方程化为u"+4u=ex(以下与方法一相同)。
解析
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考研数学二

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