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利用代换y=u／cosx将方程y"cosx－2y’sinx+3ysinx=ex化简，并求出原方程的通解。
利用代换y=u／cosx将方程y"cosx－2y’sinx+3ysinx=ex化简，并求出原方程的通解。
admin
2018-04-14
56
问题
利用代换y=u／cosx将方程y"cosx－2y’sinx+3ysinx=e
x
化简，并求出原方程的通解。
选项
答案
方法一：由y=u／cosx=usecx，有 y’=u’secx+usecxtanx， y"=u"secx+2u’secxtanx+u(secxtan
2
x+sec
3
x)， 代入原方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=e
x
，得 u"+4u=e
x
。(*) 先求其相应齐次方程的通解，由于其特征方程为λ
2
+4=0，则特征方程的根为λ=±2i。所以通解为 [*](x)=C
1
cos2x+C
2
sin2x(C
1
，C
2
为任意常数)。 再求非齐次方程的特解，特解应具有形式u
*
(x)=Ae
x
，代入(*)式，得 (Ae
x
)"+4Ae
x
=Ae
x
+4Ae
x
=5Ae
x
=e
x
， 解得，A=1／5，因此u
*
(x)=1／5e
x
。 故(*)的通解为 u(x)=C
1
cos2x+C
2
sin2x+[*]e
x
(C
1
，C
2
为任意常数)。 所以，原微分方程的通解为 y=C
1
[*]，其中C
1
，C
2
为任意常数。 方法二：由y=u／cosx有u=ycosx，于是 u’=ycosx－ycosx， u"=y"cosx－2y’cosx－ycosx， 原方程化为u"+4u=e
x
(以下与方法一相同)。
解析
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考研数学二
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