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设有抛物线Γ:y=a—bx2(a>0,b>0),试确定常数a、b的值使得 (1)Γ与直线y=x+1相切; (2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大.
设有抛物线Γ:y=a—bx2(a>0,b>0),试确定常数a、b的值使得 (1)Γ与直线y=x+1相切; (2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大.
admin
2016-11-03
95
问题
设有抛物线Γ:y=a—bx
2
(a>0,b>0),试确定常数a、b的值使得
(1)Γ与直线y=x+1相切;
(2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大.
选项
答案
Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为 V
y
=π[*] 显然V
y
中含两个参数a与b.下求出a与b的关系. 因Γ与直线y=x+1相切,即相交又相切.设切点为(x
0
,y
0
),则在切点处两曲线的函数值相同,且其斜率相等,因而有 [*] 解之得[*]=4(1一a). 将上述关系代入V
y
中,则V
y
仅含一个参数a,即 V
y
=2π(a
2
一a
3
). 令(V
y
)′
a
=0得a=2/3.因而b=3/4.而当a=2/3时,因 (V
y
)′
a
|
a=2/3
=[2π(2—6a)]
a=2/3
=2π(2—4)<0, 故当a=2/3,b=3/4时,Γ与直线y=x+1相切,且它们所围图形绕y轴旋转所得旋转体体积最大.
解析
先求出旋转体体积的表示式,然后利用抛物线Γ与直线y=x+1相切的条件求出参数a和b的关系,将体积化为一个参数的函数,由取最大值的条件得到a、b的取值.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qTu4777K
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考研数学一
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