2. 考研
  3. 设有抛物线Γ：y=a—bx2(a＞0，b＞0)，试确定常数a、b的值使得 (1)Γ与直线y=x+1相切； (2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大．

设有抛物线Γ：y=a—bx2(a＞0，b＞0)，试确定常数a、b的值使得 (1)Γ与直线y=x+1相切； (2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大．

admin2016-11-03  101
问题 设有抛物线Γ：y=a—bx2(a＞0，b＞0)，试确定常数a、b的值使得
(1)Γ与直线y=x+1相切；
(2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大．
选项
答案Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为 Vy=π[*] 显然Vy中含两个参数a与b．下求出a与b的关系． 因Γ与直线y=x+1相切，即相交又相切．设切点为(x0，y0)，则在切点处两曲线的函数值相同，且其斜率相等，因而有 [*] 解之得[*]=4(1一a)． 将上述关系代入Vy中，则Vy仅含一个参数a，即 Vy=2π(a2一a3)． 令(Vy)′a=0得a=2／3．因而b=3／4．而当a=2／3时，因 (Vy)′a｜a=2／3=[2π(2—6a)]a=2／3=2π(2—4)＜0， 故当a=2／3，b=3／4时，Γ与直线y=x+1相切，且它们所围图形绕y轴旋转所得旋转体体积最大．
解析 先求出旋转体体积的表示式，然后利用抛物线Γ与直线y=x+1相切的条件求出参数a和b的关系，将体积化为一个参数的函数，由取最大值的条件得到a、b的取值．
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考研数学一

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