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设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32 (b>0),其中二次矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换
设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32 (b>0),其中二次矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换
admin
2013-08-30
124
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX=ax
1
2
+2
2
2
+(-2
3
2
)+2bx
3
2
(b>0),其中二次矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换对应的正交矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)由题设,二次型f相应的矩阵为A=[*] 设A的3个特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,则由已知条件知λ
1
+λ
2
+λ
3
=1,λ
1
λ
2
λ
3
=-12;利用“矩阵特征值之和=矩阵主对角线元素之和”及“特征值之积=矩阵行列式”两个关系,得 [*],可求出b=2,即a=1,b=2. (Ⅱ)由|A-λE|=0,即[*],可求出A的特征值为 λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-3.不难求得对应于λ
1
=λ
2
=2的特征向量为ξ
1
=[*] 对应于λ
3
=-3的特征向量为ξ
3
=[*],对λ
1
,λ
2
,λ
3
正交规范化,得 [*] 令矩阵P=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=[*] 则P为正交矩阵,在正交变换x=Py下,其中y=[*] 因此二次型的标准形为2y
1
2
+2y
2
2
-3y
3
2
.
解析
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考研数学一
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