首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32 (b>0),其中二次矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换
设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32 (b>0),其中二次矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换
admin
2013-08-30
103
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX=ax
1
2
+2
2
2
+(-2
3
2
)+2bx
3
2
(b>0),其中二次矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换对应的正交矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)由题设,二次型f相应的矩阵为A=[*] 设A的3个特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,则由已知条件知λ
1
+λ
2
+λ
3
=1,λ
1
λ
2
λ
3
=-12;利用“矩阵特征值之和=矩阵主对角线元素之和”及“特征值之积=矩阵行列式”两个关系,得 [*],可求出b=2,即a=1,b=2. (Ⅱ)由|A-λE|=0,即[*],可求出A的特征值为 λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-3.不难求得对应于λ
1
=λ
2
=2的特征向量为ξ
1
=[*] 对应于λ
3
=-3的特征向量为ξ
3
=[*],对λ
1
,λ
2
,λ
3
正交规范化,得 [*] 令矩阵P=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=[*] 则P为正交矩阵,在正交变换x=Py下,其中y=[*] 因此二次型的标准形为2y
1
2
+2y
2
2
-3y
3
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/sD54777K
0
考研数学一
相关试题推荐
(2003年试题,五)计算不定积分
(09年)设函数z=f(x,y)的全微分为dz=xdx+ydy,则点(0,0)
(2003年试题,一)设α为三维列向量,αT是α的转置,若则αTα=__________.
设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.求a,b的值;
设线性方程组证明:若a1,a2,a3,a4两两不相等,则此线性方程组无解;
设A为n阶矩阵,α为n维列向量,若存在正整数m,使得Am-1α≠0,Amα=0(规定A0为单位矩阵),证明向量组α,Aα,…,Am-1α线性无关.
计算,其中D是由y=x3,y=1及x=-1所围成.
下列反常积分中发散的是()
设x的概率密度为f(x)=,F(x)是x的分布函数,求Y=F(x)的分布函数和概率密度。
一辆机场交通车载有25名乘客途经9个站,每位乘客都等可能在这9个站中任意一站下车(且不受其他乘客下车与否的影响),交通车只在有乘客下车时才停车,令随机变量Yi表示在第i站下车的乘客数,i=1,2,…,Xi在有乘客下车时取值为1,否则取值为0.求:cov
随机试题
根据我国《选举法》的规定,有关“由选民直接选举的人大代表候选人提名推荐方式”中,不正确的是()。
油田经济评价步骤包括核定基础数据和计算参数等内容。()
企业基期的销售收入利润率为30%,计划期的销售收入利润率与基期的相同,预计企业的销售收入为7000万元,则企业计划期内的利润额为()
A.C1~3B.C4C.C5D.C6E.C7支配头运动肌的是
填隙碎石适用于()。
对下肢骨牵引患者的护理,错误的是()。
课外活动最基本的组织形式是()
下列选项中,符合所给图形的变化规律的是()。
根据以下资料,回答问题。2000年、2005年、2006年发达国家、发展中国家和世界总体的国际储备(不包括黄金)和黄金储备变化情况,如图所示:部分国家国际储备和黄金储备的变化情况如下表所示:假设黄金价格为500美元/盎司,那么表中各年黄
(259)的软件是系统软件。
最新回复
(
0
)