设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32 (b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换

admin2013-08-30 72

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX=ax₁²+2₂²+(-2₃²)+2bx₃² (b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由题设，二次型f相应的矩阵为A=[*] 设A的3个特征值为λ₁，λ₂，λ₃，则由已知条件知λ₁+λ₂+λ₃=1，λ₁λ₂λ₃=-12；利用“矩阵特征值之和=矩阵主对角线元素之和”及“特征值之积=矩阵行列式”两个关系，得 [*]，可求出b=2，即a=1，b=2． (Ⅱ)由｜A-λE｜=0，即[*]，可求出A的特征值为 λ₁=λ₂=2，λ₃=-3．不难求得对应于λ₁=λ₂=2的特征向量为ξ₁=[*] 对应于λ₃=-3的特征向量为ξ₃=[*]，对λ₁，λ₂，λ₃正交规范化，得 [*] 令矩阵P=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=[*] 则P为正交矩阵，在正交变换x=Py下，其中y=[*] 因此二次型的标准形为2y₁²+2y₂²-3y₃²．

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+222+(-232)+2bx32 (b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换

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