设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。 (Ⅰ)验证α1是矩阵β的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B。

admin2017-01-14  31

问题 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=(1,-1,1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为三阶单位矩阵。
(Ⅰ)验证α1是矩阵β的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B。

选项

答案(Ⅰ)由Aα11得A2α1=Aα11,依次递推,则有A3α11,A5α11,故 Bα1=(A5-4A3+E)α1=A5α1-4A3α11=-2α1, 即α1是矩阵β的属于特征值-2的特征向量。 由关系式B=A5-4A3+E及A的三个特征值λ1=1,λ2=2,λ3=-2得B的三个特征值为μ1=-2,μ2=1,μ3=1。 设α1,α2为B的属于μ23=1的两个线性无关的特征向量,又由A为对称矩阵,则B也是对称矩阵,因此α1与α2、α3正交,即[*]。 因此α2,α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解,即 [*] 得其基础解系为 [*] B的全部特征向量为k1[*],其中k1≠0,k2,k3不同时为零。 (Ⅱ)令P=(α1,α2,α3)=[*],于是 [*]

解析
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