2. 考研
  3. 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。 (Ⅰ)验证α1是矩阵β的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B。

设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。 (Ⅰ)验证α1是矩阵β的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B。

admin2017-01-14  48
问题 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。
(Ⅰ)验证α1是矩阵β的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
(Ⅱ)求矩阵B。
选项
答案(Ⅰ)由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α1，A5α1=α1，故 Bα1=(A5-4A3+E)α1=A5α1-4A3α1+α1=-2α1， 即α1是矩阵β的属于特征值-2的特征向量。 由关系式B=A5-4A3+E及A的三个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2得B的三个特征值为μ1=-2，μ2=1，μ3=1。 设α1，α2为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α2、α3正交，即[*]。 因此α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 [*] 得其基础解系为 [*] B的全部特征向量为k1[*]，其中k1≠0，k2，k3不同时为零。 (Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)=[*]，于是 [*]
解析
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考研数学一

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