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[2014年]∫-ππ(x一a1cosx-b1sinx)2dx={∫-ππ(x一acosx一bsinx)2dx},则a1cosx+b1sinx=( ).
[2014年]∫-ππ(x一a1cosx-b1sinx)2dx={∫-ππ(x一acosx一bsinx)2dx},则a1cosx+b1sinx=( ).
admin
2021-01-15
18
问题
[2014年]∫
-π
π
(x一a
1
cosx-b
1
sinx)
2
dx=
{∫
-π
π
(x一acosx一bsinx)
2
dx},则a
1
cosx+b
1
sinx=( ).
选项
A、2sinx
B、2cosx
C、2nsinx
D、2πcosz
答案
A
解析
∫
-π
π
(x一acosx一bsinx)
2
dx=∫
-π
π
[(x一bsinx)-acosx]
2
dx
=∫
-π
π
[(x—b sinx)
2
一2a cosx(x—b sinx)+a
2
cos
2
x]
2
dx
=∫
-π
π
(x
2
一2bx sinx+b
2
sin
2
x+a
2
cos
2
x)dx (注意cosx(x一b sinx)为奇函数)
=2∫
0
π
(x
2
一2bx sinx+b
2
sin
2
x+a
2
cos
2
x)dz,
因∫
0
π
xsinxdx=
,
∫
0
π
sin
2
x dx=
,
故F(a,b)=∫
-π
π
(x-a cosx一b sinx)
2
dx=
π
3
—4b
2
π+b
3
7π+a
3
π ①
=π(a
2
+b
2
一4b)+
π
3
=π[a
2
+(b-2)
2
一4]+
π
3
.
因而当a=0,b=2时,上述积分值F(a,b)最小.于是
a
1
=a=0,b
1
=b=2,a
1
cosx+b
1
sinx=2sinx.仅A入选.[img][/img]
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考研数学一
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