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  3. [2014年]∫-ππ(x一a1cosx-b1sinx)2dx={∫-ππ(x一acosx一bsinx)2dx}，则a1cosx+b1sinx=( )．

[2014年]∫-ππ(x一a1cosx-b1sinx)2dx={∫-ππ(x一acosx一bsinx)2dx}，则a1cosx+b1sinx=( )．

admin2021-01-15  30
问题 [2014年]∫-ππ(x一a1cosx-b1sinx)2dx={∫-ππ(x一acosx一bsinx)2dx}，则a1cosx+b1sinx=(    )．
选项 A、2sinx
B、2cosx
C、2nsinx
D、2πcosz
答案A
解析 ∫-ππ(x一acosx一bsinx)2dx=∫-ππ[(x一bsinx)-acosx]2dx
=∫-ππ[(x—b sinx)2一2a cosx(x—b sinx)+a2cos2x]2dx
=∫-ππ(x2一2bx sinx+b2sin2x+a2cos2x)dx  (注意cosx(x一b sinx)为奇函数)
=2∫0π(x2一2bx sinx+b2sin2x+a2cos2x)dz，
因∫0πxsinxdx=，
∫0πsin2x dx=，
故F(a，b)=∫-ππ(x-a cosx一b sinx)2dx=π3—4b2π+b37π+a3π   ①
=π(a2+b2一4b)+π3=π[a2+(b-2)2一4]+π3．
因而当a=0，b=2时，上述积分值F(a，b)最小．于是
a1=a=0，b1=b=2，a1cosx+b1sinx=2sinx．仅A入选．[img][/img]
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