设A、B为同阶方阵,则A与B相似的充分条件是( )

admin2017-03-08  24

问题 设A、B为同阶方阵,则A与B相似的充分条件是(    )

选项 A、秩(A)=秩(B).
B、|A|=|B|.
C、A、B有相同的特征多项式.
D、A、B有相同的特征值λ1,λ2,…,λn,且λ1,λ2,…,λn两两不同.   

答案D

解析 当n阶方阵有n个互不相同特征值时.它也相似于对角矩阵.故在选项(D)的条件下,存在适当的可逆矩阵P、Q,使P—1AP=D,Q—1BQ=D,其中D=diag(λ1,λ2=1,…,λn)为对角矩阵.故有P—1AP=Q—1BQ,→QP—1APQ—1=B,→(PQ—1)—1A(PQ—1)=B,记矩阵M=PQ—1,则M可逆,且使M—1AM=B,所以在选项(D)的条件下,A与B必相似.
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