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设A、B为同阶方阵,则A与B相似的充分条件是( )
设A、B为同阶方阵,则A与B相似的充分条件是( )
admin
2017-03-08
42
问题
设A、B为同阶方阵,则A与B相似的充分条件是( )
选项
A、秩(A)=秩(B).
B、|A|=|B|.
C、A、B有相同的特征多项式.
D、A、B有相同的特征值λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,且λ
1
,λ
2
,…,λ
n
两两不同.
答案
D
解析
当n阶方阵有n个互不相同特征值时.它也相似于对角矩阵.故在选项(D)的条件下,存在适当的可逆矩阵P、Q,使P
—1
AP=D,Q
—1
BQ=D,其中D=diag(λ
1
,λ
2
=1,…,λ
n
)为对角矩阵.故有P
—1
AP=Q
—1
BQ,→QP
—1
APQ
—1
=B,→(PQ
—1
)
—1
A(PQ
—1
)=B,记矩阵M=PQ
—1
,则M可逆,且使M
—1
AM=B,所以在选项(D)的条件下,A与B必相似.
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考研数学一
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